WACHSTUM VON KONJUGIERTENKLASSEN IN DISKRETEN GRUPPEN

Diplomarbeit vorgelegt von

Moritz Wiethaup aus Stuttgart

angefertigt am Mathematischen Institut

der Georg-August-Universität Göttingen September 2004

Inhaltsverzeichnis

Einleitung iii 1 Grundlagen 1 2 Schreiergraphen 10 3 Eigenschaft (T) 14 4 Kranzprodukte 17 5 Schreierwachstum von Konjugiertenklassen 21 6 Wachstumstypen von Konjugiertenklassen 24 7 Der Fox-Kalkül 30 8 Die Magnus-Einbettung 34 9 Metabelsche Gruppen 39 10 Polyzyklische Gruppen 55 11 Einige Beispiele für exponentiell wachsende Konjugiertenklassen 57 12 Ausblick 64

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Literaturverzeichnis 68 Danksagung 71

Einleitung

Gruppen sind in der Mathematik allgegenwärtig. Oft dienen sie zur Beschreibung der Symmetrien anderer mathematischer Objekte, insbesondere solcher geometrischer Natur. Es gibt jedoch auch eine andere Möglichkeit, Geometrie und Gruppentheorie zu verknüpfen: Jedes endliche Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe G definiert eine Abstandsfunktion auf G, die sogenannte Wortmetrik. Dadurch wird G selbst zu einem geometrischen Objekt. Von einem traditionellen geometrisch-topologischen Standpunkt aus ist die Wortmetrik denkbar unergiebig, weil der Abstand zweier Gruppenelemente stets eine natürliche Zahl und die unterliegende Topologie somit diskret ist. Darüberhinaus hängt die Wortmetrik von dem verwendeten Erzeugendensystem ab, so dass die Geometrie der Gruppe G nur ”bis auf Quasi-Isometrie”wohldefiniert ist. Aus diesen Gründen kommt es hier also nicht auf die Eigenschaften von G ïm kleinenän, sondern vielmehr auf diejenigen Eigenschaften, die nicht von dem Verhalten der Wortmetrik auf beschränkten (d.h. endlichen) Teilmengen abhängen. Eine der historisch ersten äsymptotischenÏnvarianten endlich erzeugter Gruppen ist das Gruppenwachstum, das die Größe der Bälle um 1 ∈ G vom Radius k für k ⟶ ∞ beschreibt. Ein Meilenstein in diesem Gebiet ist der Satz von Gromov [5], der die Gruppen von polynomialem Wachstum durch eine rein algebraische Bedingung charakterisiert.

Anstelle des Wachstums der ganzen Gruppe G kann man auch das Wachstum einer Teilmenge von G betrachten. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Wachstum von Konjugiertenklassen in endlich erzeugten Gruppen. Dabei sind wir vor allem an polynomial wachsenden Konjugiertenklassen interessiert. Im ersten Kapitel

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formulieren wir zwei Begriffe des Wachstums einer Konjugiertenklasse einer endlich erzeugten Gruppe (von uns auf die Namen Cayley- und Schreierwachstum getauft) und beginnen unsere Untersuchung mit dem Beweis einiger grundlegender Eigenschaften. Die folgenden beiden Kapitel dienen dem Beweis des Satzes, dass jede unendliche Konjugiertenklasse in einer Gruppe mit Kazhdans Eigenschaft (T) exponentielles Wachstums besitzt. Die relevanten Eigenschaften dieser Gruppen werden dabei von Grund auf entwickelt, wobei wir nur ein Minimum an Spektraltheorie voraussetzen. Weil (T) in einem gewissen Sinne eine ”generischeËigenschaft endlich erzeugter Gruppen ist (vgl. [17, Kapitel 3]), bestätigt dies unsere ursprüngliche Erwartung, dass exponentielles Konjugiertenwachstum gewissermaßen der Normalfall ist.

Kapitel 4 handelt von Kranzprodukten endlich erzeugter Gruppen. Hier begegnen uns die ersten nichttrivialen Beispiele von polynomial wachsenden Konjugiertenklassen. Das Hauptergebnis in Kapitel 5 besagt, dass es einer endlich erzeugte Gruppe G von superpolynomialem Wachstum immer auch Konjugiertenklassen von superpolynomialem Wachstum gibt. Kapitel 6 widmet sich der Frage nach den möglichen Wachstumstypen von Konjugiertenklassen. Es stellt sich heraus, dass es für das Schreierwachstum keine nichttrivialen Restriktionen an den Wachstumstyp einer Konjugiertenklasse gibt und all diese Typen auch als Cayleywachstumstyp auftreten. In Kapitel 8 konstruieren wir die sogenannte Magnus-Einbettung und benutzen sie, um mit Hilfe der Kranzprodukte aus Kapitel 4 weitere Beispiele für polynomiales Konjugiertenwachstum zu gewinnen. Kapitel 7 dient dabei der Vorbereitung.

Es ist naheliegend, die Suche nach polynomial wachsenden Konjugiertenklassen bei den auflösbaren Gruppen, den nächsten Verwandten der nilpotenten Gruppen, zu beginnen, zumal da unendliche auflösbare Gruppen sehr weit davon entfernt sind, Eigenschaft (T) zu besitzen.

Ein großer Teil unserer Bemühungen drehte sich um die Frage, ob die derivierte Untergruppe einer metabelschen Gruppe stets aus polynomial wachsenden Konjugiertenklassen besteht. Das ist für das Schreierwachstum trivialerweise der Fall und für das Cayleywachstum im allgemeinen falsch. Kapitel 11 enthält zwei Gegenbeispiele.

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In Kapitel 9 beweisen wir einige positive Resultate über metabelsche Gruppen: für endlich präsentierte Gruppen mit abelschem Normalteiler und zyklischem Quotienten, für die Torsionsuntergruppe der derivierten Gruppe und eine Existenzaussage für polyzyklische metabelsche Gruppen. Kapitel 10 verallgemeinert diese Existenzaussage für beliebige polyzyklische Gruppen. Ein weiteres Beispiel in Kapitel 11 zeigt die Grenzen dieses Resultats auf und beendet unsere Untersuchung des Wachstums von Konjugiertenklassen. Im letzten Kapitel skizzieren wir eine Anwendungsmöglichkeit polynomial wachsender Konjugiertenklassen und motivieren damit rückwirkend unsere Problemstellung.

Wir möchten darauf hinweisen, dass viele der sich stellenden Fragen von uns nicht vollständig oder auch gar nicht beantwortet werden. Diese Arbeit sollte vielmehr als der Versuch einer ersten Annäherung an das Phänomen des Konjugiertenwachstums verstanden werden.

Die für mögliche geometrische Anwendungen relevanten Gruppen treten oft als Fundamentalgruppen kompakter Mannigfaltigkeiten auf und sind daher von Natur aus endlich präsentiert. Wir berücksichtigen dies in dieser Arbeit dadurch, dass wir an verschiedenen Stellen Informationen über die endliche Präsentierbarkeit unserer Gruppen bereitstellen, wobei wir für Beweise auf die angegebene Literatur verweisen.

Kapitel 1

Grundlagen

Sei G eine Gruppe mit endlichem Erzeugendensystem S. Dann kann man jedes g ∈ G als Wort in den Elementen von S^{±1} = S ∪ S^{±1} schreiben:

g = s_{1} … s_{k}

mit s_{i} ∈ S^{±1} und k ∈ ℕ. Der minimale Wert für k, so dass eine solche Darstellung existiert, heisst die Wortlänge von g (bezüglich S.) Wir bezeichnen die Wortlänge von g mit |g|_{S} . Proposition 1.1. Die Wortlänge | |_{S} auf einer Gruppe G hat folgende Eigenschaften:

(i) |g|_{S} = 0 genau dann, wenn g = 1. (ii) |g^{−1}|_{S} = |g|_{S} für alle g ∈ G. (iii) |gh|_{S} ≤ |g|_{S} + |h|_{S} für alle g, h ∈ G. Beweis. Klar.

Die Wortlängenfunktion | |_{S} induziert eine linksinvariante Metrik dist_{S} auf G durch

dist_{S}(g, h) = |g^{−1}h|_{S} ,

die unter dem Namen Wortmetrik bekannt ist. Die Linksinvarianz ist offensichtlich, und dass es sich wirklich um eine Metrik handelt, folgt leicht aus den in Proposition 1.1 aufgeführten Eigenschaften der Wortlänge. Die Dreiecksungleichung z.B. ergibt sich aus dist_{S}(g, k) = |g^{−1}k|_{S} = |g^{−1}hh^{−1}k|_{S} ≤ |g^{−1}h|_{S}+|h^{−1}k|_{S} = dist_{S}(g, h)+dist_{S}(h, k) für beliebige g, h, k ∈ G.

Die Wachstumsfunktion β_{M,S}^{(G)} : ℕ ⟶ ℕ einer Teilmenge M ⊂ G ist definiert durch

β_{M,S}^{(G)}(n) = # {g ∈ M : |g|_{S} ≤ n} .

Ergibt sich die umgebende Gruppe G aus dem Kontext, so schreiben wir einfach β_{M,S}. Für algebraische Manipulationen ist es oft sinnvoll, β_{M,S}^{(G)}(t) auch für beliebiges t ∈ [0, ∞) zu definieren. Um Bemerkungen dieser Art in Zukunft vermeiden zu können, benutzen wir im gesamten Verlauf der Arbeit die folgende Konvention:

(i) 0 ist eine natürliche Zahl.

(ii) Ist β : ℕ ⟶ ℝ irgendeine Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen, so setzen wir β(t) = β([t]) für jedes t ∈ [0, ∞), wobei [t] = max {n ∈ ℕ : n ≤ t} .

Die Wortlänge (und also auch die Wachstumfunktionen) hängen von der Wahl des Erzeugendensystems S ab. Meistens werden wir jedoch auch S in der Notation unterdrücken. Das ist dadurch gerechtfertigt, dass die asymptotischen Eigenschaften von β_{M,S} unabhängig von S sind. Um dies zu präzisieren, führen wir eine Äquivalenzrelation zwischen Funktionen β, γ : [0, ∞) ⟶ [0, ∞) ein: Wir schreiben β ⪯ γ, wenn es ein C > 0 gibt, so dass β(n) ≤ Cγ(Cn) für alle n gilt, und β ∼ γ, falls β ⪯ γ und γ ⪯ β. Offensichtlich ist ⪯ eine Präordnung und ∼ eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse von β nennen wir auch den Wachstumstyp von β. Lemma 1.2. Seien S, S′ zwei endliche Erzeugendensysteme von G. Dann gibt es C, C′ > 0, so dass

\frac{1}{C} |g|_{S′} ≤ |g|_{S} ≤ C′ |g|_{S′}

für jedes g ∈ G ist, und für jede Teilmenge M ⊂ G gilt β_{M,S} ∼ β_{M,S′}. Beweis. Sei C′ = max_{s∈S} |s|_{S′} . Sei g = s_{1} … s_{k} eine Darstellung von g ∈ M als Wort minimaler Länge in den Erzeugern aus S, d.h. |g|_{S} = k und s_{i} ∈ S^{±1} für alle i. Wir können nun jedes s_{i} als Wort der Länge ≤ C′ in den Elementen von S′^{±1} schreiben und erhalten eine Darstellung von g als Wort der Länge ≤ C′k in den s ∈ S′^{±1}. Also gilt |g|_{S′} ≤ C′ |g|_{S} . Die andere Ungleichung folgt aus Gründen der Symmetrie. Die zweite Behauptung folgt nun aus β_{M,S}(k) ≤ β_{M,S′}(C′k) und β_{M,S′}(k) ≤ β_{M,S}(Ck).

Gegenstand dieser Arbeit ist das Wachstum von Konjugiertenklassen in endlich erzeugten Gruppen. Es gibt zwei Möglichkeiten, das Wachstum einer Konjugiertenklasse

x^{G} = {gxg^{−1} : g ∈ G}

zu definieren. Zum einen kann man die Wachstumsfunktion β_{x} := β_{x^{G}} der Teilmenge x^{G} ⊂ G betrachten. Wir nennen (den Wachstumstypen von) β_{x} das Cayleywachstum von x^{G}. Dieser Wachstumsbegriff ist relevant für die in der Einleitung skizzierten Anwendungen.

Die Alternative besteht darin, x^{G} nicht als Teilmenge von G aufzufassen, sondern als die Menge G/Z(x) der Rechtsnebenklassen Z(x)g des Zentralisators

Z(x) = {g ∈ G : gx = xg} .

Allgemein kann man für eine beliebige Untergruppe H ≤ G eine Längenfunktion auf G/H durch

|Hg| = min_{g′∈Hg} |g′|

definieren. Dann hat man eine zugehörige Wachstumsfunktion

β_{G/H}(n) = # {Hg ∈ G/H : |Hg| ≤ n} .

Ist T ein minimales Repräsententantensystem von G/H (d.h. |t| ≤ |ht| für alle t ∈ T und h ∈ H), so gilt offenbar β_{G/H} = β_{T}^{(G)}. Ist H ein Normalteiler, so stimmt diese Funktion mit der Wachstumsfunktion von G/H als Gruppe überein, wenn man als Erzeugendensystem für G/H das Bild von S unter der kanonischen Abbildung G ⟶ G/H betrachtet. Im Falle H = Z(x), x ∈ G nennen wir γ_{x} := β_{G/Z(x)} die Schreierwachstumsfunktion von x^{G}. Offenbar gilt für jedes k ≥ 0, dass

γ_{x}(k) = # {y ∈ x^{G} : y = g^{−1}xg für ein g ∈ G mit |g|_{G} ≤ k} .

Wir machen darauf aufmerksam, dass es sich bei den Begriffen ”Cayleywachstum“ und ”Schreierwachstum“ um unsere eigenen Definitionen handelt. Die Terminologie leitet sich von der Tatsache her, dass β_{x} das Wachstum von x^{G} im Cayleygraphen von G und γ_{x} das Wachstum des zu x^{G} assoziierten Schreiergraphen von G/Z(x) beschreibt.

Eine Wachstumsfunktion ist eine monoton wachsende Funktion α : ℕ ⟶ ℕ. Die Wachstumsfunktion einer Gruppe ist eine Wachstumsfunktion im Sinne dieser Definition, ebenso die Wachstumsfunktionen β_{x} (Cayley) und γ_{x} (Schreier) der Konjugiertenklasse x^{G} ⊂ G. Die ”sphärische Wachstumsfunktion“ σ_{G}(n) = # {g ∈ G : |g| = n} ist hingegen im allgemeinen nicht monoton wachsend, vgl. [3, VI.9]. Wir nennen eine Wachstumsfunktion α polynomial (vom Grad ≤ d), falls α(n) ≤ Cn^{d} für C, d > 0 gilt, und exponentiell, falls α(n) ≥ Cb^{n} für C > 0, b > 1.

Wir interessieren uns hauptsächlich für Konjugiertenklassen von polynomialem Wachstum. Die Menge aller Elemente einer Gruppe G, deren Konjugiertenklasse polynomiales Cayleywachstum (bzw. Schreierwachstum) besitzt, bezeichnen wir mit PC(G) (bzw. mit PS(G)), d.h.

PC(G) = {x ∈ G : β_{x}(n) ⪯ n^{d} für ein d ≥ 0}

und

PS(G) = {x ∈ G : γ_{x}(n) ⪯ n^{d} für ein d ≥ 0} .

Im Fall M = G beschreibt β = β_{G} das Gruppenwachstum von G, und die Eigenschaften dieser Funktion sind schon seit geraumer Zeit Gegenstand mathematischer Forschungen. Wir erwähnen an dieser Stelle nur den folgenden berühmten Satz von Gromov [5]: Satz 1.3. Eine endlich erzeugte Gruppe ist genau dann von polynomialen Wachstum, wenn sie virtuell nilpotent ist.

Eine Gruppe G heisst nilpotent, falls es eine Reihe normaler Untergruppen

G = G_{1} ≥ G_{2} ≥ … ≥ G_{n} = 1

gibt, für die [G, G_{i}] ≤ G_{i+1} gilt. Dabei ist [H, K] für beliebige Teilmengen H, K ⊂ G als die von allen Kommutatoren [h, k] = hkh^{−1}k^{−1} mit h ∈ H, k ∈ K erzeugte Untergruppe von G definiert. G ist genau dann nilpotent, wenn die induktiv durch γ_{1}(G) = G, γ_{i+1}(G) = [G, γ_{i}(G)] definierte untere zentrale Reihe von G bei 1 endet, d.h. wenn γ_{c+1}(G) = 1 für ein c ≥ 0 gilt. Das kleinste c mit dieser Eigenschaft heisst die Nilpotenzklasse von G.

Wenn P irgendeine Eigenschaft von Gruppen ist, dann nennt man eine Gruppe G virtuell P, wenn G eine Untergruppe H von endlichem Index besitzt, die P ist.

Wir beginnen unsere Untersuchung mit einer Reihe von einfachen Eigenschaften der verschiedenen Wachstumsfunktionen. Als Vorbereitung benötigen wir dabei das folgende Standardresultat, das besagt, dass eine endlich erzeugte Gruppe sich hinsichtlich ihrer asymptotischen Eigenschaften nicht von einer Untergruppe von endlichem Index unterscheidet. Proposition 1.4. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe, H ≤ G eine Untergruppe von endlichem Index. Dann ist auch H endlich erzeugt, und es gilt:

(i) Es gibt C, D > 0, so dass \frac{1}{C} |h|_{H} − D ≤ |h|_{G} ≤ C |h|_{H} + D für alle h ∈ H. (ii) Es gibt R > 0, s.d. dist(g, H) < R für alle g ∈ G. Beweis. Die Behauptung folgt daraus, dass die Operation durch Linkstranslation von H auf G eine isometrische, eigentliche und kokompakte Operation von H auf dem Cayleygraphen von G induziert. Für Details (und Definitionen) siehe [3, IV.24].

Wir bemerken, dass die in Proposition 1.4 behaupteten Aussagen nicht von der Wahl bestimmter Erzeugendensysteme von G und H abhängen, wobei verschiedene Wahlen natürlich verschiedene Konstanten erfordern. Wenn man ein endliches Erzeugendensystem S von G wählt, so dass H von S ∩ H erzeugt wird (was offenbar immer möglich ist), so gilt |h|_{G} ≤ |h|_{H} für alle h ∈ H.

Eine (nicht notwendig homomorphe) Abbildung φ : H ⟶ G zwischen endlich erzeugten Gruppen heisst Quasi-Isometrie, wenn sie die in Proposition 1.4 genannten Eigenschaften hat. Quasi-Isometrien sind von zentraler Bedeutung in der geometrischen Gruppentheorie, aber für uns nicht besonders relevant, da sie die Gruppenstruktur nur in einem recht groben Sinne erhalten. Z.B. muss unter einer Quasi-Isometrie eine Konjugiertenklasse nicht in eine Konjugiertenklasse abgebildet werden. Proposition 1.5. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und x ∈ G. Dann gilt γ_{x} ⪯ β_{x}.

Beweis. Es gilt

γ_{x}(k) = # {y ∈ x^{G} : y = g^{−1}xg für ein g ∈ G mit |g|_{G} ≤ k.}

Weil |g^{−1}xg| ≤ 2 |g| + |x| für jedes g ∈ G ist, folgt γ_{x}(k) ≤ β_{x}(2k + |x|) für alle k.

In vielen von uns betrachteten Fällen gilt sogar γ_{x} ∼ β_{x}. Dies ist im allgemeinen

aber falsch. Ein Gegenbeispiel wird uns in 11.1 begegnen.

Proposition 1.6. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und K ≤ H ≤ G. Dann gilt β_{G/H} ⪯ β_{G/K}. Im Fall [H : K] < ∞ gilt sogar β_{G/H} ∼ β_{G/K}.

Beweis. Sei T ein minimales Repräsentantensystem für G/H. Dann ist jedes g ∈ T auch minimal in Kg ⊂ Hg, d.h. |g|_{G} = |Kg|_{G/K} = |Hg|_{G/H} , und verschiedene Elemente von T repräsentieren verschiedene Nebenklassen in G/K. Die erste Behauptung folgt.

Sei nun [H : K] = n < ∞. Die kanonische Abbildung p : G/K ⟶ G/H erfüllt offenbar |p(x)|_{G/H} ≤ |x|_{G/K} für alle x ∈ G/K, und jedes y ∈ G/H hat genau n Urbilder unter p. Daraus bedeutet, dass β_{G/H}(k) ≥ \frac{1}{n}β_{G/K}(k) für alle k ≥ 0 gilt.

Proposition 1.7. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und H, K ≤ G, mit endlich erzeugtem H. Dann gilt β_{H/(H∩K)} ⪯ β_{G/K}. Im Falle [G : H] < ∞ gilt sogar β_{H/(H∩K)} ∼ β_{G/K}.

Beweis. Der Kürze halber setzen wir L = H ∩ K. Sei S′ ein endliches Erzeugendensystem von H. Wir können S′ zu einem endlichen Erzeugendensystem S von G erweitern. Dann gilt offenbar |Kh|_{G/K,S} ≤ |Lh|_{H/L,S′} für alle h ∈ H, und die kanonische Abbildung H/L ⟶ G/K ist injektiv. Damit folgt β_{H/L,S′} ≤ β_{G/K,S}.

Sei jetzt [G : H] = n endlich, g_{1}, …, g_{n} ein Repräsentantensystem für G/H und M = max |g_{i}|_{G} .

Dann lässt sich jedes g ∈ G eindeutig in der Form g = hg_{i} mit h ∈ H und 1 ≤ i ≤ n schreiben, und Lg ↦ Lh = Lgg_{i}^{1} liefert eine wohldefinierte Abbildung φ : G/L ⟶ H/L. Jedes Element von H/L hat genau n Urbilder unter φ, und für jedes Lg ∈ G/L gilt nach Proposition 1.4

|φ(Lg)|_{H/L} = |Lgg_{i}^{−1}|_{H/L} = min_{l∈L} |lgg_{i}^{−1}|_{H}

≤ C min_{l∈L} |lgg_{i}^{−1}|_{G} + D ≤ C(min_{l∈L} |lg|_{G} + |g_{i}^{−1}|_{G}) + D

≤ C |Lg|_{G/L} + D + CM

mit geeigneten positiven Konstanten C und D. Daraus folgt

β_{H/L}(k) ≥ \frac{1}{n}β_{G/L}(Ck + D + M)

für alle k ≥ 0, d.h. es gilt β_{G/L} ⪯ β_{H/L}. Aus Proposition 1.6 erhalten wir β_{G/L} ∼ β_{G/K}, weil [K : L] = [K : H ∩ K] ≤ [G : H] endlich ist. Die Behauptung folgt.

Korollar 1.8. Sei H ≤ G mit H und G endlich erzeugt. Dann gilt γ_{x}^{(H)} ⪯ γ_{x}^{(G)} für alle x ∈ H. Falls [G : H] < ∞ ist, gilt sogar Äquivalenz.

Beweis. Das ist genau die Situation aus Proposition 1.7: Ist nämlich K der Zentralisator von x in G, so ist der Zentralisator von x in H gerade H ∩ K.

Proposition 1.9. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und K ≤ H ≤ G, wobei K normal in G ist. Dann gilt β_{\frac{G/K}{H/K}} ⪯ β_{G/H}.

Beweis. Wir schreiben \overline{G} = G/K und \overline{H} = H/K. Sei \overline{T} ⊂ \overline{G} ein minimales Repräsentantensystem für \overline{G}/\overline{H}. Für jedes x ∈ \overline{T} wählen wir ein ρ(x) ∈ G mit Kρ(x) = x, so dass |ρ(x)|_{G} = |x|\overline{G} . Wir setzen ϕ(x) = Hρ(x) und erhalten so eine Abbildung ϕ : \overline{T} ⟶ G/H. Offenbar haben wir stets |ϕ(x)|_{G/H} ≤ |x|\overline{G} . Außerdem ist ϕ injektiv: Denn aus ϕ(x) = ϕ(x′) für x, x′ ∈ T folgt, dass ρ(x′) = hρ(x) für ein h ∈ H gilt, und daraus ergibt sich x′ = Kρ(x′) = Khρ(x) = KhKρ(x) = Khx. Das bedeutet x ≡ x′ (mod \overline{H}), und weil T ein Repräsentantensystem für \overline{G}/\overline{H} ist, bedeutet dies, dass x = x′ gilt, wie behauptet. Aus der Injektivität von ϕ folgt nun, dass β_{\overline{G}/\overline{H}} ≤ β_{G/H} gilt.

Proposition 1.10. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe, H ≤ G eine endlich erzeugte Untergruppe und x ∈ H. Dann gilt β_{x}^{(H)} ⪯ β_{x}^{(G)} und sogar β_{x}^{(H)} ∼ β_{x}^{(G)}, falls [G : H] < ∞.

Beweis. Wir können wiederum annehmen, dass das Erzeugendensystem von H in dem Erzeugendensystem von G enthalten ist. Dann gilt |hxh^{−1}|_{G} ≤ |hxh^{−1}|_{H} für jedes h ∈ H, und es folgt β_{x}^{(H)} ≤ β_{x}^{(G)}. Sei nun [G : H] = n endlich und T ein Repräsentantensystem für G/H. Dann haben wir x^{G} = ⋃_{t∈T} t^{−1}x^{H}t, und es folgt

β_{x^{G}}^{(G)} ≤ ∑_{t∈T} β_{t^{−1}x^{H}t}^{(G)} ∼ nβ_{x^{H}}^{(G)} ∼ β_{x^{H}}^{(G)}.

Aufgrund von Proposition 1.4 gilt außerdem β_{x^{H}}^{(G)} ∼ β_{x^{H}}^{(H)}, womit alles gezeigt ist.

Proposition 1.11. Sei G endlich erzeugt und N ◁ G. Dann gilt γ_{xN}^{(G/N)} ⪯ γ_{x}^{(G)} für alle x ∈ G.

Beweis. Betrachte die folgende Komposition von kanonischen Abbildungen:

\frac{G}{Z(x)} ⟶ \frac{G}{Z(x)N} ⟶ \frac{G/N}{Z(x)N/N} ⟶ \frac{G/N}{Z(Nx)}

Die Behauptung folgt nun aus 1.6 und 1.9.

Die analoge Aussage für das Cayleywachstum ist falsch. Bzgl. eines Gegenbeispiels

verweisen wir auch hier auf 11.1.

Proposition 1.12. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe, N ◁ G ein endlicher Normalteiler und x ∈ G. Dann gilt β_{xN}^{(G/N)} ∼ β_{x}^{(G)} und γ_{xN}^{(G/N)} ∼ γ_{x}^{(G)}.

Beweis. Sei M = max_{g∈N} |g|_{G} . Wir schreiben \overline{G} = G/N und \overline{g} = gN für g ∈ G. Es gilt |\overline{g}|\overline{G} ≤ |g|_{G} für jedes g. Die Quotientenabbildung bildet x^{G} auf \overline{x}\overline{G} ab, und jedes Element von G/N hat genau n = #N Urbilder in G. Es folgt β(\overline{G}) ; \overline{x}(k) ≥ \frac{1}{n}β_{x}^{(G)}(k) für

jedes k ≥ 0 und also β(\overline{G}) ; \overline{x} ⪰ β_{x}^{(G)}. Sei umgekehrt \overline{g}\overline{x}\overline{g^{−1}} ∈ \overline{x}\overline{G} mit |\overline{g}\overline{x}\overline{g^{−1}}|\overline{G} ≤ k. Dann

gilt |gxg^{−1}n|_{G} ≤ k für ein n ∈ N und also |gxg^{−1}|_{G} ≤ k + M. Jedes Element von \overline{x}^{(\overline{G})} der Länge ≤ k hat also einen Repräsentanten der Länge ≤ k + M in x^{G}. Es folgt

β\overline{x}(k) ≤ β_{x}^{(G)}(k + M), d.h. es gilt auch β(\overline{G}) ; \overline{x} ⪯ β_{x}^{(G)}.

Die eine Hälfte der Behauptung für das Schreierwachstum wurde schon in 1.11 gezeigt. Der Beweis von γ_{xN}^{(G/N)} ⪰ γ_{x}^{(G)} erfolgt fast genauso wie für das Cayleywachstum: Denn γ_{x}^{(G)}(k) ist die Anzahl der zu x konjugierten Elemente y = gxg^{−1} mit |g|_{G} ≤ k. Jedes solche y wird unter der Quotientenabbildung auf \overline{y} = \overline{g}\overline{x}\overline{g}^{−1} abgebildet, und es gilt |\overline{g}|\overline{G} ≤ |g|_{G} . Da jedes Element von \overline{x}\overline{G} höchstens n Urbilder in x^{G} besitzt, folgt

also γ(\overline{G}) ; \overline{x}(k) ≥ \frac{1}{n}γ_{x}^{(G)}(k).

Proposition 1.13. Seien G_{1}, G_{2} endlich erzeugte Gruppen und G = G_{1} × G_{2}. Seien M_{1} ⊂ G_{1} und M_{2} ⊂ G_{2} beliebige Teilmengen und M = M_{1} × M_{2}. Dann gilt

β_{M}^{(G)} ∼ β_{M_{1}}^{(G_{1})}β_{M_{2}}^{(G_{2})}.

Insbesondere haben wir PC(G) = PC(G_{1}) × PC(G_{2}).

Beweis. Für i = 1, 2 sei S_{i} ein endliches Erzeugendensystem von G_{i}. Dann ist

S = S_{1} × {1} ∪ {1} × S_{2}

ein endliches Erzeugendensystem von G, und bzgl. dieser Erzeugendensysteme gilt

|(g_{1}, g_{2})|_{G} = |g_{1}|_{G_{1}} + |g_{2}|_{G_{2}}

für alle (g_{1}, g_{2}) ∈ G. Daraus folgt daraus σ(k) = ∑_{j=0}^{k} σ_{1}(j)σ_{2}(k − j) für alle k ≥ 0, wobei σ(k) (bzw. σ_{i}(k) für i = 1, 2) die Anzahl der Elemente von M (bzw. M_{i}) der Länge k bezeichnet. Es folgt

β(k) = ∑_{i=0}^{k} σ(i) = ∑_{i=0}^{k} ∑_{j=0}^{i} σ_{1}(j)σ_{2}(i − j)

= ∑_{j=0}^{k} ∑_{i=j}^{k} σ_{1}(j)σ_{2}(i − j) = ∑_{j=0}^{k} ∑_{i=0}^{k−j} σ_{1}(j)σ_{2}(i)

= ∑_{j=0}^{k} σ_{1}(j)β_{2}(k − j),

wobei β = β_{M}^{(G)}, β_{i} = β_{M_{i}}^{(G_{i})} (für i = 1, 2).

Also gilt einerseits β(k) ≤ ∑_{j=0}^{k} σ_{1}(j)β_{2}(k) = β_{1}(k)β_{2}(k) und andererseits

β(2k) = ∑_{j=0}^{2k} σ_{1}(j)β_{2}(2k − j) ≥ ∑_{j=0}^{k} σ_{1}(j)β_{2}(k) = β_{1}(k)β_{2}(k).

Beide Ungleichungen zusammen bedeuten β ∼ β_{1}β_{2}.

Proposition 1.14. Seien G_{1}, G_{2} endlich erzeugte Gruppen und G = G_{1} × G_{2}. Seien H_{1} ≤ G_{1} und H_{2} ≤ G_{2} zwei Untergruppen und H = H_{1} × H_{2}. Dann gilt

β_{G/H} ∼ β_{G_{1}/H_{1}}β_{G_{2}/H_{2}}.

Insbesondere haben wir PS(G) = PS(G_{1}) × PS(G_{2}).

Beweis. Wir wählen ein Erzeugendensystem S von G wie im Beweis von Proposition 1.13. Für i = 1, 2 sei T_{i} ein minimales Repräsentantensystem für G_{i}/H_{i}. Dann ist T = T_{1} × T_{2} ein minimales Repräsentantensystem für G/H, und aus Proposition 1.13 folgt

β_{G/H} = β_{T}^{(G)} ∼ β_{T_{1}}^{(G_{1})}β_{T_{2}}^{(G_{2})} = β_{G_{1}/H_{1}}β_{G_{2}/H_{2}}.

Die zweite Behauptung folgt aus der ersten wegen Z(x) = Z(x_{1}) × Z(x_{2}) für jedes x = (x_{1}, x_{2}) ∈ G.

Schreiergraphen

Dieses und das folgende Kapitel folgt im Wesentlichen den Darstellungen in [12] und [17], wobei wir allerdings eine etwas andere Definition des Schreiergraphen zugrundelegen.

Ein Graph X ist für unsere Zwecke ein Tripel (X^{0}, X^{1}, ∂), bestehend aus einer Menge X^{0} von Ecken, einer Menge X^{1} von Kanten X^{1} und einer Abbildung ∂ : X^{1} ⟶ X^{0} × X^{0}, e ↦ (e^{−}, e^{+}), die jeder Kante ihren Anfang e^{−} und ihr Ende e^{+} zuordnet. Ein Graph in diesem Sinne ist also immer mit einer Orientierung versehen und kann sowohl Schleifen als auch mehrfache Kanten haben. Ein Graph X heisst k-regulär (k ∈ ℕ), wenn jede Ecke x von X Randpunkt von genau k Kanten ist, wobei Schleifen in x doppelt gezählt werden. Ein Graph X heisst zusammenhängend, wenn es für alle Ecken x, y ∈ X^{0} eine endliche Folge e_{1}, …, e_{n} ∈ X^{1} von Kanten gibt mit e_{1}^{−} = x, e_{i}^{+} = e_{i+1}^{−} für 1 ≤ i ≤ n − 1 und e_{n}^{+} = y. Wir erhalten dann eine Metrik auf X^{0}, indem wir dist(x, y) als das kleinste n ∈ ℕ definieren, für das eine solche Folge e_{1}, … e_{n} existiert. Falls X regulär (oder auch nur lokal endlich) ist, besteht jede abgeschlossene Kugel B(x, n) = {y ∈ X^{0} : dist(x, y) ≤ n} aus endlich vielen Punkten, und wir definieren die Wachstumsfunktion β_{X,x} von X (zum Basispunkt x ∈ X^{0}) durch β_{X,x}(n) = #B(x, n). Es ist leicht zu sehen, dass der Wachstumstyp von β_{X,x} nicht von der Wahl von x abhängt.

Sei G eine Gruppe mit endlichem Erzeugendensystem S und H ≤ G eine Untergruppe. Der Schreiergraph von G/H (bezüglich S) ist

Schrei(G/H, S) = (G/H, G/H × S, ∂),

wobei ∂(Hg, s) = (Hg, Hgs) ist. Eine Ecke Hg ∈ G/H ist also für jedes s ∈ S Anfangspunkt einer Kante mit Ende Hgs und Endpunkt einer Kante mit Anfang Hgs^{−1}. Also ist Schrei(G/H, S) k-regulär mit k = 2#S. Man beachte, dass es im Fall s = s^{−1} also mindestens zwei Kanten zwischen Hg und Hgs gibt.

Außerdem ist Schrei(G/H, S) zusammenhängend, weil S ein Erzeugendensystem ist, und die Wachstumsfunktion von Schrei(G, S) zum Basispunkt H ∈ G/H ist die in Kapitel 1 definierte Wachstumsfunktion β_{G/H} der Nebenklassenmenge G/H.

Im Spezialfall H = 1 erhalten wir so den Cayleygraphen Cay(G, S) von G. Zwei Ecken g, h sind in Cay(G, S) genau dann durch eine Kante verbunden, wenn g^{−1}h ∈ S^{±1} ist, d.h. wenn dist(g, h) ≤ 1 gilt, und die Metrik auf der Eckenmenge des Cayleygraphen stimmt mit der Wortmetrik dist(g, h) = |g^{−1}h| auf G überein. Cay(G, S) hat genau dann keine mehrfachen Kanten, wenn s ≠ s^{−1} für alle s ∈ S ist und genau dann keine Schleifen, wenn 1 ∉ S gilt.

Für eine Menge A ⊂ X^{0} von Ecken von X definieren wir den Rand ∂A von A als die Menge aller x ∈ X^{0} \ A, die durch eine Kante mit einem Punkt aus A verbunden werden. Die isoperimetrische Konstante i(X) von X ist definiert als

i(X) = inf_{A} \frac{#(∂A)}{#A},

wobei wir das Infimum über alle nichtleeren, endlichen A ⊂ X^{0} nehmen.

Sei X ein zusammenhängender, k-regulärer Graph mit Eckenmenge X^{0} und Kantenmenge X^{1}. Der kombinatorische Laplace-Operator von X ist der Operator Δ : l^{2}(X^{0}) ⟶ l^{2}(X^{0}), der durch

Δξ(x) = kξ(x) − ∑_{y∼x} ξ(y) = ∑_{y∼x} ξ(x) − ξ(y)  (2.1)

für ξ ∈ l^{2}(X^{0}), x ∈ X^{0} gegeben ist. Dabei bedeutet (hier und in Zukunft) y ∼ x unter dem Summenzeichen, dass wir über alle y ∈ X^{0} summieren, die durch ein e ∈ X^{1} mit x verbunden sind, mit einem Summanden für jedes solche e. Lemma 2.1. Der kombinatorische Laplace-Operator Δ von X ist ein wohldefinierter, beschränkter, positiver Operator. Beweis. Wir betrachten die Orthonormalbasis (χ_{x})_{x∈X^{0}}, χ_{x}(y) = δ_{xy} von l^{2}(X^{0}). Für jedes x ∈ X^{0} ist Δχ_{x} = kχ_{x} − ∑_{y∼x} χ(y) und somit ∥Δχ(x)∥ ≤ 2k. Also definiert (2.1) einen beschränkten Operator Δ auf dem dichten Unterraum von l^{2}(X^{0}), der aus allen Funktionen mit endlichem Träger besteht. Die Ausdehnung von Δ auf l^{2}(X^{0}) ist dann ebenfalls durch (2.1) gegeben. Also ist Δ wohldefiniert und beschränkt.

Außerdem gilt

⟨Δξ, ξ⟩ = ∑_{x∈X^{0}} Δξ(x)\overline{ξ(x)} = ∑_{x∈X^{0}} ∑_{y∼x}(ξ(x) − ξ(y))\overline{ξ(x)}

= ∑_{e∈X^{1}}(ξ(e^{+}) − ξ(e^{−}))\overline{ξ(e^{+})} + (ξ(e^{−}) − ξ(e^{+}))\overline{ξ(e^{+})}

= ∑_{e∈X^{1}} |ξ(e^{+}) − ξ(e^{−})|^{2} ≥ 0

für alle ξ ∈ l^{2}(X^{0}), so dass Δ positiv ist.

Wegen der Positivität von Δ ist das Spektrum sp(Δ) von Δ eine nichtleere, kompakte Teilmenge von [0, ∞), und wir definieren

λ_{0}(X) = min sp(Δ) = inf_{∥ξ=1∥} ⟨Δξ, ξ⟩ .

Die folgende Proposition setzt die verschiedenen Invarianten eines Graphen miteinander in Verbindung. Beide Behauptungen zusammen liefern ein hinreichendes Kriterium für exponentielles Wachstum eines Graphen durch das Spektrum des kombinatorischen Laplace-Operators, das wir im Kapitel 3 anwenden werden. Proposition 2.2. Sei X ein zusammenhängender, k-regulärer Graph. Dann gilt:

(i) i(X) ≥ λ_{0}(X)/k. (ii) β_{X,x_{0}}(n) ≥ (i(X) + 1)^{n} für alle x_{0} ∈ X, n ∈ ℕ.

Beweis. (i) Es gilt

λ_{0}(X) = min sp Δ = inf_{∥ξ∥=1} ⟨Δξ, ξ⟩

≤ inf_{A} \frac{1}{∥χ_{A}∥^{2}} ⟨Δχ_{A}, χ_{A}⟩

= inf_{A} \frac{1}{#A} ∑_{e∈X^{1}} |χ_{A}(e^{+}) − χ_{A}(e^{−})|^{2}

= inf_{A} \frac{# \{e ∈ X^{1} : e^{±} ∈ A, e^{∓} ∈ X \ A\}}{#A}

≤ inf_{A} \frac{k · #(∂A)}{#A} = k · i(X).

(ii) Nach Definition von i(X) haben wir

β_{X,x_{0}}(n) − β_{X,x_{0}}(n − 1) = #B(x_{0}, n) − #B(x_{0}, n − 1)

= #∂B(x_{0}, n − 1) ≥ i(X)#B(x_{0}, n − 1) = i(X)β_{X,x_{0}}(n − 1)

und also β_{X,x_{0}}(n) ≥ (1 + i(X))β_{X,x_{0}}(n − 1) für jedes x_{0} ∈ X^{0}, n ≥ 1. Die Behauptung folgt nun per Induktion.

Eigenschaft (T)

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Gruppen, die eine darstellungstheoretische Eigenschaft besitzen, die allgemein unter dem Namen ”Kazhdan’s property (T)“ bekannt ist. Dabei halten wir uns eng an [12] und [17].

Sei G eine endlich erzeugte Gruppe. Eine Darstellung von G ist ein Paar (π, H_{π}), bestehend aus einem komplexen Hilbertraum H_{π} und einem Homomorphismus π : G ⟶ U(H_{π}) von G in die Gruppe der unitären Operatoren auf H_{π}. Die Einheitssphäre {ξ ∈ H_{π} : ∥ξ∥ = 1} von H_{π} bezeichnen wir mit H_{π}^{1}. Ein Vektor ξ ∈ H_{π} heisst invariant, falls π(g)ξ = ξ für alle g ∈ G gilt. Ist K ⊂ G eine endliche Teilmenge und ε > 0 eine positive Zahl, so nennen wir einen Einheitsvektor ξ ∈ H_{π}^{1} (ε, K)-invariant, falls ∥π(k)ξ − x∥ < ε für alle k ∈ K gilt. Falls es zu jedem (ε, K) einen (ε, K)-invarianten Vektor in H_{π} gibt, so sagen wir, dass π beinahe invariante Vektoren besitzt. Mit diesen Begriffen können wir nun Eigenschaft (T) formulieren. Eine Gruppe G hat genau dann Eigenschaft (T), wenn gilt: Jede Darstellung von G, die beinahe invariante Vektoren besitzt, hat einen nichttrivialen invarianten Vektor.

Eigenschaft (T) macht Sinn und ist wichtig für allgemeine lokal kompakte, σkompakte Gruppen, wenn man Darstellungen als stark stetig voraussetzt und ”endlich“ durch ”kompakt“ ersetzt. In dieser Arbeit sind wir aber nur am diskreten Fall interessiert. Proposition 3.1. Sei S ein endliches Erzeugendensystem der Gruppe G. Dann sind äquivalent:

3 Eigenschaft (T)  15

(i) G hat Eigenschaft (T).

(ii) Es gibt ein ε > 0, so dass jede Darstellung von G mit (ε, S)-invarianten Vektoren nichttriviale invariante Vektoren hat.

Beweis. (ii) ⇒ (i) ist trivial. Zum Beweis der umgekehrten Implikation nehmen wir an, G habe Eigenschaft (T), ohne dass (ii) erfüllt ist. Dann gibt es eine Folge (π_{n}, H_{π_{n}}) von G-Darstellungen ohne nichttriviale invariante Vektoren, so dass π_{n} einen (1/n^{2}, S)-invarianten Vektor ξ_{n} ∈ H_{π_{n}}^{1} besitzt. Es gilt also

∥π_{n}(s)ξ_{n} − ξ_{n}∥ < \frac{1}{n^{2}}

für alle s ∈ S, n ∈ ℕ. Weil π_{n}(s) unitär ist, gilt dann auch ∥π_{n}(s^{−1})ξ_{n} − ξ_{n}∥ = ∥ξ_{n} − π_{n}(s)ξ_{n}∥ < \frac{1}{n^{2}} . Ist nun g ∈ G ein Element der Länge ≤ n (bezüglich S), so können wir g = s_{1} … s_{n} mit s_{1}, … s_{n} ∈ S^{±1} ∪ {1} schreiben, und es folgt

\begin{aligned}∥π_{n}(g)ξ_{n} − ξ_{n}∥ & ≤ ∑_{j=1}^{n} ∥π_{n}(s_{1} … s_{j})ξ_{n} − π_{n}(s_{1} … s_{j−1})ξ_{n}∥ \\ & = ∑_{j=1}^{n} ∥π_{n}(s_{j})ξ_{n} − ξ_{n}∥ < n · \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n}. \end{aligned}

Wir betrachten nun die Darstellung π = ⨁_{n=1}^{∞} π_{n}. Für jedes endliche K ⊂ G und jedes ε > 0 gibt es ein n ∈ ℕ mit \frac{1}{n} < ε und K ⊂ \{g ∈ G : |g|_{S} ≤ n\} . Nach dem Vorangehenden ist dann ξ_{n} ∈ H_{π_{n}}^{1} ⊂ H_{π}^{1} ein (ε, K)-invarianter Vektor von π. Wegen Eigenschaft (T) besitzt π einen nichttrivialen invarianten Vektor. Dann hat aber auch eines der π_{n} einen nichttrivialen invarianten Vektor, im Widerspruch zu unserer Annahme.

Die Kazhdankonstante von G (bezüglich S) ist definiert als

K(G, S) = inf_{π} inf_{ξ∈H_{π}^{1}} max_{s∈S} ∥π(s)ξ − ξ∥ ,

wobei wir das Infimum über alle (Isomorphieklassen von) Darstellungen π von G

betrachten, die keine nichttrivialen invarianten Vektoren besitzen. Die Kazhdankon-

stante hängt offensichtlich von S ab, aber wegen Proposition 3.1 gilt K(G, S) > 0

genau dann, wenn G Eigenschaft (T) besitzt, und dies hängt nicht von der Wahl

eines Erzeugendensystems ab.

Satz 3.2. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe mit Eigenschaft (T) und S ein endliches Erzeugendensystem. Sei H ≤ G eine Untergruppe von unendlichem Index und X der Schreiergraph von G/H. Dann gilt λ_{0}(X) ≥ K(G, S)^{2}.

Beweis. Der Kürze halber setzen wir ε = K(G, S) > 0. Wir betrachten die von der G-Operation auf X^{0} = G/H induzierte Permutationsdarstellung π von G auf H_{π} = l^{2}(X^{0}), die durch π(g)ξ(x) = ξ(xg) für g ∈ G, ξ ∈ l^{2}(X^{0}), x ∈ G/H definiert ist.

Jeder Nachbar einer Ecke Hg ist von der Form Hgs oder Hgs^{−1} für ein s ∈ S, so dass der kombinatorische Laplace-Operator von X gegeben ist durch die Formel

Δξ(Hg) = (2#S)ξ(Hg) − ∑_{s∈S} ξ(Hgs) + ξ(Hgs^{−1}),

d.h. es gilt Δ = ∑_{s∈S} 2 − π(s) − π(s^{−1}).

Wenn ξ ∈ l^{2}(X^{0}) invariant unter π(G) ist, muss ξ wegen der Transitivität von G auf G/H eine konstante Funktion sein. Weil X^{0} unendlich ist, muss dann ξ = 0 gelten. Also hat π keinen nichttrivialen invarianten Vektor. Sei nun ξ ∈ H_{π}^{1} ein beliebiger Einheitsvektor. Dann gilt

\begin{aligned}⟨ξ − π(s)ξ, ξ⟩ + ⟨ξ − π(s^{−1})ξ, ξ⟩ & = ⟨ξ − π(s)ξ, ξ⟩ + ⟨π(s)ξ − ξ, π(s)ξ⟩ \\ & = ∥π(s)ξ − ξ∥^{2} \end{aligned}

für jedes s ∈ S. Nach Definition der Kazhdankonstante gibt es ein s_{0} ∈ S mit ∥π(s_{0})ξ − ξ∥ ≥ ε. Damit erhalten wir

\begin{aligned}⟨Δξ, ξ⟩ & = ∑_{s∈S} ⟨ξ − π(s), ξ⟩ + ⟨ξ − π(s^{−1})ξ, ξ⟩ \\ & = ∑_{s∈S} ∥ξ − π(s)ξ∥^{2} ≥ ∥ξ − π(s_{0})ξ∥^{2} ≥ ε^{2}, \end{aligned}

so dass λ_{0}(X) = inf_{ξ∈H_{π}^{1}} ⟨Δξ, ξ⟩ ≥ ε^{2} folgt.

Korollar 3.3. Jede Konjugiertenklasse in einer endlichen erzeugten Gruppe G mit Eigenschaft (T) ist entweder endlich oder hat exponentielles Schreierwachstum. Das Wachstum der unendlichen Konjugiertenklassen ist sogar uniform exponentiell in dem Sinne, dass

inf_{x} lim inf_{n→∞} \sqrt[n]{γ_{x}(n)} > 1

gilt, wobei wir das Infimum über alle x ∈ G mit [G : Z(x)] = ∞ nehmen.

Beweis. Nach Satz 3.2 und Proposition 2.2 gilt γ_{x}(n) ≥ C^{n} mit C = \frac{K(G,S)^{2}}{2#S} + 1 > 1 für jedes x ∈ G mit [G : Z(x)] = ∞.

Kranzprodukte

Ist (G_{i})_{i∈I} eine Familie von Gruppen, so bezeichnen wir mit ∏_{i∈I} G_{i} das (beschränkte oder schwache) direkte Produkt der G_{i}. Die Elemente von ∏_{i∈I} G_{i} sind alle Familien (g_{i})_{i∈I} mit g_{i} ∈ G_{i}, wobei g_{i} ≠ 1 nur für endlich viele i ist. Dies ist also im allgemeinen nicht das vielleicht üblichere volle direkte Produkt, welches für uns (außer für endliches I) nicht relevant ist, da es uns aus der Welt der endlich erzeugten Gruppen herausführt.

Seien nun G und H zwei Gruppen und X eine rechte H-Menge. Dann können wir das direkte Produkt B = ∏_{x∈X} G bilden und H operiert von links durch die Automorphismen σ_{h} ∈ Aut(B), h ∈ H mit σ_{h}((g_{x})_{x∈X} = (g_{xh})_{x∈X}. Das dadurch gegebene semidirekte Produkt B ⋊_{σ} H heisst das Kranzprodukt von G mit H bezüglich X und wird mit G ≀_{X} H bezeichnet. B nennen wir die Basisgruppe des Kranzprodukts. Das wichtigste Beispiel entsteht, wenn X = H und die Operation durch Rechtstranslation gegeben ist. In diesem Fall sprechen wir einfach von dem Kranzprodukt von G mit H und schreiben G ≀ H. Oft involviert die Definition des Kranzprodukts noch eine Operation von G auf einer Menge Y. Dann operiert das Kranzprodukt G≀H in natürlicher Weise auf Y ×X. Darauf verzichten wir hier, weil wir weniger an G ≀ H als Permutationsgruppe interessiert sind, als an den Eigenschaften des Kranzprodukts als abstrakter Gruppe.)

Es gibt kanonische Einbettungen von B und H in G ≀_{X} H, die wir bei Bedarf als Inklusionen auffassen können. Dann lässt sich jedes x ∈ G ≀_{X} H eindeutig als Produkt x = bh mit b ∈ B und h ∈ H darstellen. Für jedes x ∈ X gibt es eine Einbettung i_{x} : G ↪ B ⊂ G ≀_{X} H, deren Bild der zu x gehörende Faktor von B ist. Lemma 4.1. Sind G und H endlich erzeugt und besteht X aus endlich vielen Bahnen, so ist auch G ≀_{X} H endlich erzeugt. Beweis. Sei S bzw. T ein endliches Erzeugendensystem von G bzw. H und sei F ein Repräsententantensystem der Bahnen von X. Dann ist U = ⋃_{x∈F} i_{x}(S) ∪ T endlich und erzeugt G ≀_{X} H, denn offenbar enthält ⟨U⟩ sowohl H als auch jedes i_{x}(G), x ∈ F und wegen h^{−1}i_{x}(G)h = i_{xh}(G) gilt dann auch B ⊂ ⟨U⟩, also ⟨U⟩ = G ≀_{X} H.

Die entsprechende Aussage für endlich präsentierte Gruppen gilt nicht. Tatsächlich sind die meisten Kranzprodukte nicht endlich präsentiert, wie aus folgendem Satz hervorgeht, den wir nicht beweisen: Satz 4.2. [16, Thm. 4] Das Kranzprodukt G ≀ H zweier endlich erzeugter Gruppen ist genau dann endlich präsentiert, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

(i) G = 1 und H ist endlich präsentiert. (ii) G ist endlich präsentiert und H endlich.

Unser Interesse an Kranzprodukten rührt daher, dass die Konjugiertenklasse eines Elements der Basisgruppe sehr einfach zu beschreiben ist. Wegen (b, h)^{−1}x(b, h) = (1, h^{−1})((b^{−1}, 1)x(b, 1))(1, h) erhalten wir nämlich alle Konjugierten von x ∈ B durch Konjugation der Komponenten von x mit Elementen aus G und eine anschließende Translation.

Der folgende Satz bringt die ersten nichttrivialen Beispiele für polynomial wachsende Konjugiertenklassen: Satz 4.3. Seien G, H endlich erzeugte Gruppen, und x = ((x_{h})_{h∈H}, 1) ∈ B ein nichttriviales Element der Basisgruppe von Γ = G ≀ H. Dann gilt x ∈ PC(Γ) genau dann, wenn H virtuell nilpotent ist und x_{h} ∈ PC(G) für alle h ∈ H gilt.

Für den Beweis benötigen wir ein wenig zusätzliche Notation und ein Lemma über die Eigenschaften der Wortlänge in Kranzprodukten. j : H ⟶ Γ sei die kanonische Einbettung h ↦ (1, h) von H in Γ und i = i_{1} : G ⟶ Γ die Einbettung von G in Γ, die G auf den zu 1 ∈ H gehörigen Faktor von B = ∏_{H} G abbildet. Wir wählen endliche Erzeugendensysteme S und T von G und H und verwenden U = i(S) ∪ j(T)

als Erzeugendensystem für Γ.

Ist x = (b, k) ∈ Γ mit b = (b_{h}) ∈ B, k ∈ H, so definieren wir den Träger

von x als supp x = {h ∈ H : b_{h} ≠ 1} und setzen λ(x) = max_{h∈H} |b_{h}|_{G} sowie l(x) =

max_{h∈supp x} |h|_{H} . Im Fall x ∈ j(H) setzen wir l(x) = 0. Mit diesen Bezeichnungen

haben wir:

Lemma 4.4. Für jedes x = (b, h) ∈ Γ mit b = (b_{k})_{k∈H} gilt

max(|h|_{H} , 2l(x), λ(x)) ≤ |x|_{Γ} ≤ |h|_{H} + ∑_{k∈supp x} 2 |k|_{H} + |b_{k}|_{G} .

Beweis. Die obere Abschätzung für |x|_{Γ} folgt sofort aus

x = (b, 1)(1, h) = ( ∏_{k∈supp x} i_{k}(b_{k}))(1, h) = ( ∏_{k∈supp x}(1, k)^{−1}i(b_{k})(1, k))(1, h).

Zum Beweis der anderen Ungleichung betrachten wir zunächst den kanonischen Homomorphismus p : Γ ⟶ H. Dieser bildet U auf T ∪ {1} ab, woraus sofort |h|_{H} ≤ |x|_{Γ} folgt. Den Rest der Behauptung beweisen wir mittels Induktion nach |x|_{Γ} . Der Induktionsanfang (x = 1) ist offensichtlich. Sei also |x|_{Γ} ≥ 1. Dann können wir x = x′u schreiben mit x′ = (b′, h′), |x′|_{Γ} = |x|_{Γ} − 1 und u ∈ U^{±1}. Wir haben zwei Fälle zu betrachten: u ∈ j(T^{±1}) oder u ∈ i(S^{±1}). Im ersten Fall ist b = b′, und nach Induktionsannahme haben wir max(l(x), λ(x)) = max(l(x′), λ(x′)) ≤ |x′|_{Γ} < |x|_{Γ} . Im anderen Fall gilt x = i(s) für ein s ∈ S^{±1}, und wir haben

(b, h) = x = x′u = (b′, h′)i(s) = (b′, 1)γ(1, h′),  (4.1)

wobei γ = (1, h′)i(s)(1, h^{′−1}) im zu h^{′−1} gehörenden Faktor von B enthalten ist. Also gilt supp x ⊂ supp(b′, 1) ∪ {h^{′−1}} , und da aufgrund des schon bewiesenen Teils der Behauptung |h′|_{H} ≤ |x′|_{Γ} gilt, können wir l(x) ≤ max(l(x′), |h′|_{H}) ≤ |x′|_{Γ} < |x|_{Γ} schließen. Außerdem folgt aus (4.1), dass λ(x) ≤ λ(x′) + 1 ≤ |x′|_{Γ} + 1 = |x|_{Γ} ist, weil b und b′ sich nur in ihren h^{′−1}-Komponenten b_{h^{′−1}} und b′_{h′1−1} unterscheiden können und für diese b_{h^{′−1}} = b^{′−1}_{h′}s gilt.

Beweis. (Satz 4.3) Wir beginnen mit der Notwendigkeit der angegebenen Bedingungen.

Dazu betrachten wir zunächst ein beliebiges h ∈ H. Für jedes g ∈ G ist ϕ(g) = i_{h}(g)^{−1}xi_{h}(g) in der Konjugiertenklasse x^{Γ} von x enthalten, und aus Lemma 4.3 folgt

|ϕ(g)|_{Γ} ≤ |g^{−1}x_{h}g|_{G} + ∑_{k≠h} |x_{k}|_{G} = |g^{−1}x_{h}g|_{G} + C

mit einer von g unabhängigen Konstanten C. Es folgt β_{x}^{(Γ)}(n + C) ≥ β_{x_{h}}^{(G)}(n) für alle n ≥ 0, so dass x_{h} ∈ PC(G) für jedes h ∈ H ist, falls x ∈ PC(Γ) gilt.

Außerdem haben wir für jedes k ∈ H ein zu x konjugiertes Element

ψ(k) = (1, k^{−1})x(1, k) = ((x_{hk^{−1}})_{h∈H}, 1)

von Γ. Es gilt genau dann ψ(k) = ψ(1) = x, wenn x_{hk^{−1}} = x_{h} für alle h ∈ H ist. Wegen der Endlichkeit des Trägers von x kann dies nur für endlich viele k ∈ H gelten, d.h. H_{x} = Z(x) ∩ H ist endlich. Falls also H von superpolynomialem Wachstum ist, so gilt dasselbe für H̃ = H/H_{x} (siehe Proposition 1.6), und die Abbildung H̃ ⟶ Γ mit H_{x}k ↦ ψ(k) ist injektiv und erfüllt |ψ(k)|_{Γ} ≤ |x|_{Γ} +2 |H_{x}k|H̃ . Es folgt β_{x}^{(Γ)} ⪰ βH̃. Damit ist auch die Notwendigkeit der zweiten Bedingung gezeigt.

Sei nun H von polynomialem Wachstum und x_{h} ∈ PC(G) für alle h ∈ H. Sei n ≥ 0 eine natürliche Zahl und y = (b, h)^{−1}x(b, h) ein Konjugiertes von x mit |y|_{Γ} ≤ n. Wir haben

y = (1, h^{−1})((b_{k}^{−1}x_{k}b_{k})_{k∈H}, 1)(1, h) = ((b_{kh^{−1}}^{−1}x_{kh^{−1}}b_{kh^{−1}})_{k∈H}, 1),  (4.2)

so dass der Träger von y gegeben ist durch supp y = supp(j(h)^{−1}xj(h)) = (supp x)h, und mit Lemma 4.3 erhalten wir n ≥ l(y) = max_{k∈supp x} |kh|_{H} . Wegen |h| ≤ |k^{−1}| + |kh| = |k| + |kh| folgt daraus |h| ≤ l(x) + n.

Aus (4.2) ist ersichtlich, dass y (außer von h und x) nur von den b_{k} für k ∈ supp x abhängt. Der Eintrag an der Stelle kh für k ∈ supp x ist y_{kh} = b_{k}^{−1}x_{k}b_{k}, und alle anderen y_{l}, l ∈ H sind gleich 1. Also haben wir n ≥ λ(y) = max_{k∈supp x} |b_{k}^{−1}x_{k}b_{k}|_{G} , und es folgt y_{kh} ∈ x_{k}^{G} und |y_{kh}|_{G} ≤ n. Alles zusammen ergibt

β_{x}^{(Γ)}(n) ≤ β_{H}(n + l(x)) · ∏_{k∈supp x} β_{x_{k}}^{(G)}(n)

für jedes n ≥ 0, und die rechte Seite dieser Ungleichung ist nach Voraussetzung von oben durch ein Polynom beschränkt.

Tatsächlich haben wir in Satz 4.3 bereits alle polynomial wachsenden Konjugier-

tenklassen von Γ ausfindig gemacht, falls H unendlich ist. Es gilt nämlich:

Proposition 4.5. Seien G, H endlich erzeugte Gruppen, G ≠ 1 und H unendlich. Für Γ = G ≀ H gilt dann

PC(Γ) ⊂ B = ∏_{H} G.

Beweis. ??

Schreierwachstum von Konjugiertenklassen

Sei G eine Gruppe. Die Menge aller Elemente von G, deren Konjugiertenklasse nur aus einem Element besteht, ist eine charakteristische Untergruppe von G, das Zentrum Z(G). Diejenigen Gruppen, in denen jede Konjugiertenklasse nur aus einem Element besteht, sind genau die abelschen Gruppen.

Das ist trivial. Interessanter ist, dass ähnliche Aussagen gelten, wenn man endliche Konjugiertenklassen betrachtet. Sei F (G) die Menge aller Elemente von G mit endlicher Konjugiertenklasse. Dann gilt x ∈ F (G) genau dann, wenn der Index [G : Z(x)] des Zentralisators von x endlich ist. Aus x, y ∈ F (G) folgt dann wegen Z(x) ∩ Z(y) ≤ Z(xy), dass [G : Z(xy)] ≤ [G : Z(x) ∩ Z(y)] ≤ [G : Z(x)][G : Z(y)] < ∞ und also xy ∈ F (G) gilt. Außerdem gilt dann auch x^{−1} ∈ F (G) (z.B. wegen Z(x) = Z(x^{−1})), so dass F (G) eine (offensichtlich charakteristische) Untergruppe von F (G) ist.

Die endlich erzeugten Gruppen, in denen jede Konjugiertenklasse endlich ist, sind dadurch charakterisiert, dass ihr Zentrum endlichen Index hat. Dies ist ein altes Resultat von B.H. Neumann. Das ist nicht trivial, sondern eine Übungsaufgabe ([14, Exercise 14.5.2].) Ihre Lösung: Proposition 5.1. In einer endlich erzeugten Gruppe G sind genau dann alle Konjugiertenklassen endlich, wenn [G : Z(G)] endlich ist. Beweis. Sei zunächst [G : Z(G)] endlich und T ein (endliches) Repräsentantensystem für G/Z(G). Ist y = g^{−1}xg konjugiert zu x ∈ G, so können wir g = zt mit z ∈ Z(G) und t ∈ T schreiben. Es folgt y = t^{−1}xt, so dass x^{G} = {t^{−1}xt : t ∈ T } endlich ist.

Sei nun jede Konjugiertenklasse in G endlich. Ist {x_{1}, …, x_{n}} ein endliches Erzeugendensystem von G, so gilt Z(G) = ⋂_{i=1}^{n} Z(x_{i}), und daraus folgt

[G : Z(G)] ≤ ∏_{i=1}^{n}[G : Z(x_{i})] < ∞.

Unser eigentliches Ziel in diesem Kapitel ist die Beantwortung der analogen Fragen für Konjugiertenklassen von polynomialem Wachstum. Das Ergebnis ist: Satz 5.2. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe. Dann ist PS(G) eine charakteristische Untergruppe von G, und die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) PS(G) = G. (ii) PC(G) = G. (iii) G ist von polynomialem Wachstum.

Wir wissen nicht, ob PC(G) stets eine Untergruppe von G ist. In allen uns bekannten Fällen ist dies der Fall.

Obwohl unser Beweis von Satz 5.2 recht einfach ist, beruht er auf dem höchst nichttrivialen Satz 1.3 von Gromov. Es wäre sicher interessant, einen Beweis zu finden, der ohne Satz 1.3 auskommt.

Der Beweis von Satz 5.2 beruht auf dem folgenden einfachen Lemma über das Wachstum von Nebenklassenmengen, das wir [15] entnehmen. Lemma 5.3. Seien H_{1}, …, H_{k} Untergruppen der endlich erzeugten Gruppe G und H = ⋂_{i=1}^{k} H_{i}. Dann gilt

β_{G/H} ⪯ ∏_{i=1}^{k} β_{G/H_{i}}.

Beweis. Die Abbildung G/H ⟶ ∏ G/H_{i}, die Hg auf (H_{1}g, …, H_{k}g) abbildet, ist injektiv, und es gilt |H_{i}g| ≤ |Hg| .

Beweis. (Satz 5.2) Wegen Z(x) = Z(x^{−1}) ist PS(G) invariant unter Bildung von Inversen. Sind x, y ∈ PS(G), so wächst nach dem Lemma G/(Z(x)∩Z(y)) polynomial, und wegen Z(x) ∩ Z(y) ≤ Z(xy) und Proposition 1.6 gilt dasselbe für G/Z(xy), d.h. es ist xy ∈ PS(G). Ist φ ein Automorphismus von G, so gilt |x|_{S} = |φ(x)|_{φ(S)} für jedes endliche Erzeugendensystem S von G. Da PS(G) unabhängig von der Wahl eines Erzeugendensystems ist, folgt φ(PS(G)) = PS(G). Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen.

(iii) ⇒ (ii) ist trivial, und (ii) ⇒ (i) folgt aus Proposition 1.5. Es bleibt also die Implikation (i) ⇒ (iii) zu zeigen. Dazu sei x_{1}, …, x_{k} ein endliches Erzeugendensystem von G mit x_{i} ∈ PS(G) für jedes i. Dann gilt Z(G) = ⋂_{i=1}^{k} Z(x_{i}) und nach Lemma 5.3 wächst β_{G/Z(G)} polynomial. Da Z(G) ein Normalteiler ist, ist G/Z(G) eine Gruppe von polynomialem Wachstum, nach dem Satz 1.3 von Gromov also virtuell nilpotent. Es gibt also eine Untergruppe H ≥ Z(G) von G, so dass [G : H] < ∞ und H/Z(G) nilpotent ist. Wegen Z(G) ≤ Z(H) ist dann auch H/Z(H) nilpotent, d.h. es gibt eine Reihe

H = H_{1} ≥ H_{2} ≥ … ≥ H_{n} = Z(H)

normaler Untergruppen von H mit [H/Z(H), H_{i}/Z(H)] ≤ H_{i+1}/Z(H) für 1 ≤ i ≤ n − 1. Verlängert man diese Reihe durch H_{n+1} = 1, so erhält man eine zentrale Reihe für H. Also ist H nilpotent und G virtuell nilpotent, d.h. (wiederum nach Satz 1.3) von polynomialem Wachstum.

Korollar 5.4. Sei G eine endliche erzeugte Gruppe. Dann ist PS(G) lokal virtuell nilpotent, d.h. jede endlich erzeugte Untergruppe von PS(G) ist virtuell nilpotent.

Beweis. Sei H ≤ PS(G) erzeugt von x_{1}, … x_{k}. Wegen Proposition 1.8 gilt dann H = H ∩ PS(G) ≤ PS(H), und die Behauptung folgt aus Satz 5.2.

Es wäre interessant, stärkere strukturelle Aussagen über PS(G) zu gewinnen.

Es ist jedenfalls nicht richtig, dass PS(G) immer virtuell nilpotent ist. Als Beispiel

betrachten wir ein Kranzprodukt G≀H mit einer endlichen, nicht nilpotenten Gruppe

G und endlich erzeugtem, unendlichem und virtuell nilpotentem H. Nach Satz 4.3

gilt dann B = ∏_{H} G ⊂ PS(G ≀ H), aber B ist nicht virtuell nilpotent. Ein Beweis

der letzten Behauptung: Angenommen, es gäbe eine nilpotente Untergruppe K ≤ B

von endlichem Index. Dann ist die Projektion pr_{h}(K) von K auf den h-ten Faktor

für jedes h ∈ H nilpotent. Da G endlich ist, ist dann auch L = ∏_{h} pr_{h}(K) ≥ K

nilpotent, und aus [B : L] ≤ [B : K] < ∞ folgt nun, dass pr_{h}(K) = G für fast alle h

gilt, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass G nicht nilpotent ist.

Wachstumstypen von Konjugiertenklassen

Die Bestimmung aller möglichen Wachstumstypen endlich erzeugter Gruppen ist ein sehr schweres Problem, das noch weitgehend ungelöst ist. Wir geben einen (höchst unvollständigen) Überblick darüber, was bislang bekannt ist. Die Gruppen von polynomialem Wachstum sind nach dem Satz von Gromov genau die virtuell nilpotenten Gruppen. Ist G virtuell nilpotent, so gilt stets β_{G}(n) ∼ n^{d} mit d ∈ ℕ, das heisst der polynomiale Grad des Wachstums von G ist eine natürliche Zahl (???). Nach ??? gibt es überabzählbar viele Gruppen G mit superpolynomialem und subexponentiellem Wachstum, d.h. mit n^{d} ≺ β_{G}(n) ≺ 2^{n} für beliebiges d > 0. Unseres Wissens kennt man bislang keine Gruppe G von superpolynomialem Wachstum, für die β_{G}(n) ⪯ 2^{\sqrt{n}} gilt, vgl. ???.

Das entsprechende Problem für das Wachstum von Konjugiertenklassen ist wesentlich einfacher. Tatsächlich kann so gut wie jeder (höchstens exponentielle) Wachstumstyp auftreten. Dies zu beweisen ist Ziel dieses Abschnitts.

Sei F die freie Gruppe auf einer Menge X. Ein Schreiersystem in F ist eine nichtleere Teilmenge T, die mit jedem reduzierten Wort w auch jedes Anfangsstück von w enthält, d.h. ist w = x_{1} … x_{k} ∈ T ein reduziertes Wort mit x_{i} ∈ X^{±1}, so gilt x_{1} … x_{j} ∈ T für 0 ≤ j ≤ k. Insbesondere gilt 1 ∈ T. Es ist leicht zu sehen, dass jede Untergruppe H ≤ F ein Schreierrepräsentantensystem (für die Linksnebenklassen Hg) besitzt (siehe z.B. [8, Lemma 2.2]). Umgekehrt kann man unter bestimmten

Umständen Untergruppen von F mit vorgegebenem Schreierrepräsentantensystem

finden. Den folgenden Satz entnehmen wir [7], geben aber einen moderneren Beweis:

Satz 6.1. [7, Thm. 7.2.3] Sei T ⊂ F ein Schreiersystem und π : T X^{±1} ⟶ T eine Abbildung, so dass gilt:

(i) Ist g ∈ T X^{±1} ∩ T, so gilt π(g) = g.

(ii) Für alle g ∈ T, x ∈ X^{±1} gilt π(π(gx)x^{−1}) = x.

Dann ist T ein Repräsentantensystem für die Linksnebenklassen der Untergruppe H ≤ F, die von allen Elementen der Form gxπ(gx)^{−1} mit g ∈ T, x ∈ X^{±1} erzeugt wird.

Beweis. Für jedes x ∈ X^{±1} betrachten wir die Abbildung ρ(x) : T ⟶ T, definiert durch g ↦ π(gx). Wegen (ii) ist jedes ρ(x) bijektiv mit ρ(x)^{−1} = ρ(x^{−1}). Wir erhalten also eine Rechtsoperation T × F ⟶ T von F auf T, indem wir x ∈ X^{±1} durch ρ(x) operieren lassen. Wir benutzen die Notation (g, w) ↦ g ∗ w für diese Operation, um Verwechslungen mit der Gruppenmultiplikation in F zu vermeiden. Sei H die Isotropiegruppe von 1 ∈ T.

Wir zeigen nun durch Induktion nach |w| , dass 1 ∗ w = w für jedes w ∈ T gilt. Für w = 1 ist das klar, und für ein reduziertes Wort w = x_{1} … x_{n} ∈ T der Länge n ≥ 1 (mit x_{1}, …, x_{n} ∈ X^{±1}) erhalten wir mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung, der Schreiereigenschaft von T und (i), dass

1 ∗ w = (1 ∗ (x_{1} … x_{n−1})) ∗ x_{n} = (x_{1} … x_{n−1}) ∗ x_{n} = π(w) = w

gilt.

Also ist die Operation transitiv, T ist als F -Menge isomorph zu F/H, und jede Nebenklasse von H enthält genau ein Element aus T. Für alle g ∈ T, x ∈ X gilt außerdem 1∗(gx) = (1∗g)∗x = g∗x = π(gx) = 1∗π(gx), woraus Hgx = Hπ(gx) folgt. Ein Standardresultat der kombinatorischen Gruppentheorie (siehe z.B. [8, Lemma 2.3]) besagt nun, dass H von den gxπ(gx)^{−1} erzeugt wird.

Wir wollen eine Wachstumsfunktion α : ℕ ⟶ N zulässig nennen, wenn gilt:

(i) α(0) = 1.

(ii) α ist entweder beschränkt oder streng monoton wachsend.

(iii) Es gibt ein d > 0, so dass

Δα(n + 1) ≤ dΔα(n)  (6.1)

für jedes n gilt, wobei Δα(n) = α(n) − α(n − 1).

Lemma 6.2. Sei α zulässig. Dann gibt es ein zulässiges β mit α ∼ β, das (6.1) mit d = 2 erfüllt.

Beweis. Wir schreiben α(n) = ∑_{i=0}^{n} a_{i} mit a_{0} = α(0) = 1, a_{n} = α(n) − α(n − 1) für n ≥ 1, und wählen eine natürliche Zahl c ≥ 1 mit 2^{c} ≥ d. Wir definieren eine Folge (b_{i}) durch b_{ci} = a_{i}, b_{ci+j} = 2^{j}a_{i}, i ∈ N, 0 < j < c. Dann erfüllt β(n) = ∑_{i=0}^{n} b_{i} unsere Forderungen: Denn es gilt sowohl

α(n) = ∑_{i=0}^{n} a_{i} ≤ ∑_{i=0}^{cn} b_{i} = β(n)

als auch

\begin{aligned}β(n) & ≤ β(c(n + 1) − 1) = ∑_{i=0}^{c(n+1)−1} b_{i} = ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{c−1} b_{ci+j} \\ & = ∑_{i=0}^{n} ∑_{j=0}^{c−1} 2^{j}a_{i} ≤ 2^{c} ∑_{i=0}^{n} a_{i} = 2^{c}α(n). \end{aligned}

und nach Konstruktion ist b_{n} ≤ 2b_{n−1} für alle n ∈ ℕ.

Der folgende Satz ist eine vereinfachte Version von [15, Thm. 1.2].

Satz 6.3. Sei α eine zulässige Wachstumsfunktion und F die freie Gruppe auf X = {x_{1}, x_{2}} . Dann gibt es H ≤ F, so dass β_{F/H} ∼ α.

Beweis. Falls α beschränkt ist, können wir für H irgendeine Untergruppe von endlichem Index nehmen. Wir nehmen also ohne Einschränkung an, dass α streng monoton wächst und dass Δα(n) ≤ 2Δα(n − 1) gilt (Lemma 6.2). Der weitere Verlauf des Beweises ist wie folgt: Zunächst konstruieren wir ein Schreiersystem T, dessen Wachstum durch α gegeben ist. Dann definieren wir eine geeignete Repräsentantenfunktion π : T X^{±1} ⟶ T und erhalten durch Satz 6.1 eine Untergruppe H ≤ F. Der letzte Schritt besteht dann darin, zu zeigen, dass T ein minimales Repräsentantensystem für F/H ist.

Wir konstruieren zunächst induktiv eine Folge von Teilmengen T_{i} ⊂ F, so dass gilt:

(i) T_{i} ⊂ T_{i+1}.

(ii) T_{i} ist ein Schreiersystem.

(iii) |g| ≤ i für alle g ∈ T_{i}.

(iv) #T_{i} = α(i).

(v) T_{i} enthält kein reduziertes Wort der Form wx^{2} mit w ∈ F, x ∈ X^{±1}.

Wir beginnen mit T_{−1} = ∅ und T_{0} = {1} . Seien nun T_{0}, …, T_{i} bereits definiert. Wenn die reduzierte Form von g ∈ T_{i} \ T_{i−1} nicht mit x oder x^{−1} endet, so haben die zwei Elemente gx, gx^{−1} von F die Länge i + 1, enden nicht mit einem Quadrat, und jedes ihrer echten Anfangsstücke liegt in T_{i}. Wegen Δα(i + 1) = α(i + 1) − α(i) ≤ 2(α(i)−α(i−1)) = 2(#T_{i} −#T_{i−1}) können wir Δα(i+1) solche Elemente auswählen und zu T_{i} hinzufügen, d.h. wir setzen

T_{i+1} = T_{i} ∪ {g_{i}x_{i}^{ε_{i}} : 1 ≤ i ≤ Δα(i + 1)} ,

wobei x_{i} ∈ X, ε_{i} ∈ {±1} für jedes i ist, g_{i} ∈ T_{i} \ T_{i−1} nicht auf x_{i} endet, und die g_{i}x_{i}^{ε_{i}} paarweise verschieden sind. Dann erfüllt T_{i+1} die Bedingungen (i) bis (v), und die Induktion kann fortgesetzt werden.

Wir setzen T = ∪_{i=0}^{∞}T_{i}. Dann ist T offenbar ein Schreiersystem, und auch (v) bleibt für T richtig. Für jedes y ∈ T X^{±1} definieren wir nun π(y) ∈ T, indem wir vier Fälle unterscheiden. Dabei ist stets g ∈ T, x ∈ X^{±1}.

(1) Für y ∈ T setzen wir π(y) = y.

(2) Falls y = gx ∉ T mit gx^{−1} ∉ T, so setzen wir π(y) = g.

(3) Falls y = gx ∉ T mit gx^{−1} ∈ T, gx^{−2} ∉ T, so setzen wir π(y) = gx^{−1}.

(4) Ansonsten gilt y = gx ∉ T, gx^{−1}, gx^{−2} ∈ T, und wir setzen π(y) = gx^{−2}.

Man beachte dabei, dass das Produkt gx in den Fällen (2) bis (4) notwendig reduziert ist, denn andernfalls wäre gx als Anfangsstück von g in T enthalten. Somit sind g und x durch gx ∈ T X^{−1} eindeutig bestimmt, so dass die Definition von π(y) nicht von der Darstellung als Produkt y = gx abhängt.

Offenbar gilt π(g) = g für alle g ∈ T. Um 6.1 anwenden zu können, müssen wir noch zeigen, dass π(π(gx)x^{−1}) = g für alle g ∈ T und x ∈ X^{−1} gilt. Im Fall (1) haben wir

π(π(gx)x^{−1}) = π(gxx^{−1}) = g.

Im Fall (2) haben wir gx ∉ T, g ∈ T, gx^{−1} ∉ T. Es folgt

π(π(gx)x^{−1}) = π(gx^{−1}) = g,

wobei die letzte Gleichung nach Fall (2) der Definition gilt. Im Fall (3) haben wir gx ∉ T, gx^{−1} ∈ T, gx^{−2} ∉ T so dass

π(π(gx)x^{−1}) = π(gx^{−1}x^{−1}) = g

gilt, wobei wir diesmal im letzten Schritt Fall (3) der Definition angewendet haben. Im letzten verbleibenden Fall (4) ist gx ∉ T, g, gx^{−1}, gx^{−2} ∈ T. Wegen Eigenschaft (v) für T kann dann das Produkt gx^{−2} nicht reduziert sein, so dass die reduzierte Form von g die Gestalt g = g′x besitzt, wobei (wiederum wegen (v)) g′ nicht mit x endet. Also ist gx^{−2} = g′x^{−1}, wobei die rechte Seite reduziert ist. Es folgt gx^{−3} = g′x^{−2} ∉ T, so dass nach Fall (4) der Definition π(gx^{−3}) = π((gx^{−2}x^{−1}) = g gilt. Also ist

π(π(gx)x^{−1}) = π(gx^{−3}) = g.

Damit gilt π(π(gx)x^{−1}) = g für alle g ∈ T, x ∈ X^{±1}, so dass wir aus Satz 6.1 eine Untergruppe H ≤ F erhalten, so dass T ein Repräsentantensystem von H ist. Offensichtlich gilt α(i) = #T_{i} ≤ β_{F/H}(i) für jedes i ≥ 0. Zum Beweis des Satzes genügt es also zu zeigen, dass T ein minimales Repräsentantensystem ist, denn dann haben wir auch β_{F/H} ≤ α. H wird erzeugt von allen Elementen der Form gxπ(gx)^{−1} mit g ∈ T, x ∈ X^{±1}. Für solche g, x gilt also Hgx = Hπ(gx). Wir können also π zu einer Abbildung π : F ⟶ T fortsetzen, indem wir jedes w ∈ F auf das eindeutig bestimmte Element von T abbilden, das Hw repräsentiert, d.h. π ist charakterisiert durch Hw = Hπ(w) für alle w ∈ F. Per Induktion nach |w| zeigen wir nun |π(w)| ≤ |w| für jedes w ∈ F, womit der Beweis dann beendet ist. Sei dies also für |w| ≤ i bereits gezeigt (der Induktionsanfang ist trivial) und w = vx mit |w| = |v| + 1 = i + 1 und x ∈ X^{±1}. Dann ist Hπ(w) = Hw = Hvx = (Hπ(v))x = Hπ(π(v)x) und also

|π(w)| = |π(π(v)x)| ≤ |π(v)| + 1 ≤ |v| + 1 = |w| .

Dabei folgt die zweite Ungleichung aus der Induktionsannahme und die erste aus der Definition von π(gx) für g ∈ T, x ∈ X^{±1}, denn in jedem der vier Fälle gilt |π(gx)| ≤ |g| + 1. Im Fall (4) beachte man dabei, dass gx^{−2} nicht reduziert sein kann, so dass |gx^{−2}| ≤ |g| gilt.

Wir wollen diesen Satz nun anwenden, um ein entsprechendes Resultat für das

Wachstum von Konjugiertenklassen zu gewinnen. Dafür lassen wir die freie Gruppe

F = ⟨x_{1}, …, x_{d}|−⟩ auf einer Nebenklassenmenge F/H operieren und bilden das zu-

gehörige Kranzprodukt G = ℤ ≀_{F/H} F = B ⋊ F mit der Basisgruppe B = ∏_{Hw∈F/H} ℤ.

Für Hw ∈ F/H sei e_{Hw} ∈ B das Element mit Hw-Komponente = 1 und allen

übrigen Komponenten = 0. x_{0} := e_{H} bildet zusammen mit den x_{i} ∈ F, 1 ≤ i ≤ d, ein

Erzeugendensystem von G, das wir im Folgenden stets verwenden werden.

Proposition 6.4. Es gilt β_{x_{0}} ∼ γ_{x_{0}} = β_{F/H}.

Beweis. Es gilt x_{0}^{G} = {e_{Hw} : Hw ∈ F/H} . Wegen Z(x_{0}) = BH ist klar, dass γ_{x_{0}} = β_{G/Z(x_{0})} = β_{BF/BH} = β_{F/H} gilt. Wegen wx_{0}w^{−1} = e_{Hw} (??) gilt |e_{Hw}|_{G} ≤ 2 |Hw|_{F/H} + 1 für jedes w ∈ F. Wir zeigen nun, dass auch die andere Ungleichung gilt. Dazu sei e_{Hw} = x_{i_{1}}^{ε_{1}} … x_{i_{k}}^{ε_{k}} eine Darstellung von e_{Hw} als Wort in den Erzeugenden (mit ε_{j} ∈ {±1}). Wir wählen j minimal, so dass die Hw-Komponente von x_{i_{1}}^{ε_{1}} … x_{i_{j}}^{ε_{j}} nicht verschwindet. Dann haben wir x_{i_{j}} = x_{0} (wegen der Minimalität von j). Wir schreiben x_{i_{1}}^{ε_{1}} … x_{i_{j−1}}^{ε_{j−1}} = bv mit b ∈ B, v ∈ F und bemerken wegen bvx_{0} = be_{Hv}v, dass Hv = Hw gilt. Also gilt

|x_{i_{1}}^{ε_{1}} … x_{i_{j−1}}^{ε_{j−1}} |_{G} ≥ |v|_{F} ≥ |Hw|_{F/H} .

Ausserdem ist x_{i_{j+1}}^{ε_{j+1}} … x_{i_{k}}^{ε_{k}} = b′v^{−1} mit b′ ∈ B wegen e_{Hw} ∈ B, so dass

|x_{i_{j+1}}^{ε_{j+1}} … x_{i_{k}}^{ε_{k}} |_{G} ≥ |v^{−1}|_{F} = |v|_{F} ≥ |Hw|_{F/H}

gilt, womit die Behauptung gezeigt ist.

Wir haben also |e_{Hw}|_{G} = 2 |Hw|_{F/H} +1 für alle w und somit β_{F/H}(n) = β_{x_{0}}(2n+1) für alle n ∈ ℕ, womit alles gezeigt ist.

Korollar 6.5. Für jede zulässige Wachstumsfunktion α gibt es eine Gruppe G und eine Konjugiertenklasse x^{G} ⊂ G mit γ_{x} ∼ β_{x} ∼ α.

Beweis.

Dieses Ergebnis besagt, dass es so gut wie keine Restriktionen an den Wachstums-

typ einer Konjugiertenklasse in einer endlich erzeugten Gruppe gibt. Insbesondere

gibt es für jedes t ∈ [1, ∞) Konjugiertenklassen, die wie n^{t} wachsen, im Gegensatz

zur Situation für das Wachstum von Gruppen.

Man beachte, dass die in Proposition 6.4 konstruierten Gruppen sämtlich nicht

endlich präsentiert sind, falls [F : H] = ∞ ist (vgl. [16, Thm. 3]). Die wesentlich

schwieriger erscheinende Frage nach einer Charakterisierung der möglichen Wachs-

tumstypen von Konjugiertenklassen in endlich präsentierten Gruppen lassen wir un-

beantwortet.

Der Fox-Kalkül

Wir konstruieren die Fox-Derivationen auf einer freien Gruppe. Dabei stützen wir uns im Wesentlichen auf [8, Kap. 11]. Wir wählen jedoch nicht die dort verwendete Definition als Ausgangspunkt, sondern die in [8, Prop. 11.4] gegebene Charakterisierung der Fox-Derivationen.

Sei G eine Gruppe und A ein linker G-Modul, d.h. ein Linksmodul über dem Gruppenring ℤG. Wir nennen eine Abbildung ∂ : G ⟶ A eine Derivation, wenn sie

∂(gh) = ∂(g) + g∂(h)  (7.1)

für alle g, h ∈ G erfüllt. Man beachte, dass diese Identität nicht symmetrisch in g und h ist. Jede Derivation ∂ : G ⟶ A besitzt eine eindeutige Fortsetzung zu einer additiven Abbildung D : ℤG ⟶ A, die D(uv) = D(u)ϵ(v)+uD(v) für alle u, v ∈ ℤG erfüllt, wobei ϵ : ℤG ⟶ ℤ der Augmentationshomomorphismus ist. Proposition 7.1. Für jede Derivation : ∂ : G ⟶ A gilt:

(i) ∂(1) = 0. (ii) ∂(g^{−1}) = −g^{−1}∂(g) für alle g ∈ G. (iii) Ist S ein Erzeugendensystem von G, so ist ∂ eindeutig durch seine Werte auf

S bestimmt. Beweis. Die erste Behauptung folgt aus ∂(1) = ∂(1 · 1) = ∂(1) + ∂(1), und die zweite Behauptung aus der ersten wegen 0 = ∂(1) = ∂(g^{−1}g) = ∂(g^{−1}) + g^{−1}∂(g). Die letzte Behauptung folgt nun aus der zweiten, zusammen mit der ”Leibniz-Regel“ (7.1).

Wir betrachten nun das semidirekte Produkt A ⋊ G. Die Multiplikation in A ⋊ G

ist gegeben durch

(a, g)(b, h) = (a + g · b, gh)

für a, b ∈ A, g, h ∈ G.

Lemma 7.2. Sei ∂ : G ⟶ A eine Abbildung und ϕ : G ⟶ A ⋊ G definiert durch ϕ(g) = (∂(g), g). Dann ist ϕ genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn ∂ eine Derivation ist.

Beweis. Es gilt

ϕ(gh) = (∂(gh), gh)

und

ϕ(g)ϕ(h) = (∂(g), g)(∂(h), h) = (∂(g) + g∂(h), gh)

für alle g, h ∈ G. Die Behauptung folgt.

Lemma 7.3. Sei F eine freie Gruppe auf einer Menge X und 𝔣 = ker ϵ ⊂ ℤF das Augmentationsideal. Dann ist 𝔣 eine freie abelsche Gruppe mit Basis {w − 1 : w ∈ F \ 1} , und ein freier ℤF -Linksmodul mit Basis X′ = {x − 1 : x ∈ X} .

Beweis. Für jedes u = ∑_{w∈F} u_{w}w ∈ 𝔣, u_{w} ∈ ℤ gilt u = u − ϵ(u) = ∑_{w∈F} u_{w}(w − 1) = ∑_{w∈F \1} u_{w}(w − 1). Die Menge aller w − 1, w ∈ F \ 1 erzeugt also 𝔣 als abelsche Gruppe, und diese Menge ist linear unabhängig (über ℤ), weil der w-Koeffizient einer Linearkombination ∑_{w∈F \1} n_{w}(w − 1) mit Koeffizienten n_{w} ∈ ℤ gleich n_{w} ist.

Als nächstes zeigen wir, dass X′ ein Erzeugendensystem des Ideals 𝔣 ist. Dafür genügt es zu zeigen, dass w−1 für jedes w ∈ F \1 in dem von X′ erzeugten Ideal 𝔵 liegt. Dies geschieht induktiv nach der Länge von w als Wort in den Erzeugern X von F. Für |w| ≤ 1 ist die Behauptung klar, wenn man x^{−1} −1 = −x^{−1}(x−1) berücksichtigt. Sei also |w| ≥ 2. Dann können wir w = x^{ε}v mit x ∈ X, ε ∈ {±1} und |v| = |w| − 1 schreiben, und die Behauptung folgt aus w − 1 = x^{ε}v − 1 = x^{ε}(v − 1) + (x^{ε} − 1), zusammen mit der Induktionsannahme.

Schließlich zeigen wir, dass das Erzeugendensystem X′ von 𝔣 frei ist. Dazu sei A ein beliebiger ℤF -Linksmodul und ψ′ : X′ ⟶ A irgendeine Abbildung. Wir müssen zeigen, dass sich ψ′ zu einem ℤF -Homomorphismus ψ : 𝔣 ⟶ A fortsetzen lässt. Dazu definieren wir zunächst einen Gruppenhomomorphismus ϕ : F ⟶ A ⋊ F durch

ϕ(x) = (ψ′(x − 1), x)

für x ∈ X. Nach Lemma 7.2 gilt dann ϕ(w) = (∂(w), w) für alle w ∈ F, wobei ∂ : F ⟶ A eine Derivation ist.

Nach der ersten Behauptung können wir einen Homomorphismus ψ : 𝔣 ⟶ A von abelschen Gruppen durch

ψ(w − 1) = ∂(w)

für w ∈ F \ 1 definieren. Wegen

(ψ′(x − 1), x) = ϕ(x) = (∂(x), x) = (ψ(x − 1), x)

für x ∈ X ist ψ eine Erweiterung von ψ′, so dass wir nur noch zu zeigen haben, dass ψ auch ℤF -linear ist. Dies folgt aus

ψ(v(w − 1)) = ψ((vw − 1) − (v − 1)) = ∂(vw) − ∂(v) = v∂(w) = vψ(w − 1)

für beliebige v, w ∈ F, wobei wir bei der dritten Gleichung benutzt haben, dass ∂ eine Derivation ist.

Mit Hilfe dieses Lemmas können wir nun die Fox-Derivationen definieren. Dazu sei F die freie Gruppe auf einer Menge X und w ∈ F. Dann gilt w − 1 ∈ 𝔣, so dass wir

w − 1 = ∑_{x∈X} \frac{∂w}{∂x}(x − 1)

schreiben können mit eindeutig bestimmten \frac{∂w}{∂x} ∈ ℤF. Wir nennen \frac{∂w}{∂x} die Fox-Ableitung von w nach x, und die Abbildung \frac{∂}{∂x} : F ⟶ ℤF, w ↦ \frac{∂w}{∂x} heißt Fox-Derivation (nach x).

Diese Terminologie wird gerechtfertigt durch: Lemma 7.4. Die \frac{∂}{∂x} sind Derivationen. Beweis. Für v, w ∈ F gilt

vw−1 = v(w−1)+(v−1) = v ∑_{x∈X} \frac{∂w}{∂x}(x−1)+∑_{x∈X} \frac{∂v}{∂x}(x−1) = ∑_{x∈X}(v \frac{∂w}{∂x} + \frac{∂v}{∂x})(x−1).

Es folgt \frac{∂(vw)}{∂x} = v \frac{∂w}{∂x} + \frac{∂v}{∂x} für jedes x ∈ X.

Es gilt offenbar \frac{∂x}{∂y} = δ_{xy} (Kronecker-Symbol) für alle x, y ∈ X, und die Fox-Derivationen sind dadurch eindeutig bestimmt. Tatsächlich lässt sich eine explizite Formel für die Fox-Derivationen angeben:

Proposition 7.5. Sei w = x_{1}^{ε_{1}} … x_{k}^{ε_{k}} ∈ F und x ∈ X. Dann gilt

\frac{∂w}{∂x} = ∑_{i:x_{i}=x} ε_{i}x_{1}^{ε_{1}} … x_{i−1}^{ε_{i−1}}x_{i}^{(ε_{i}−1)/2}.

Beweis. Per Induktion nach k. Der Induktionsanfang (k = 0) folgt aus 7.1. Sei also k ≥ 1 und die Behauptung für alle Worte der Länge kleiner als k bereits gezeigt. Dann haben wir

\frac{∂w}{∂x} = \frac{∂}{∂x}(x_{1}^{ε_{1}} … x_{k−1}^{ε_{k−1}}) + x_{1}^{ε_{1}} … x_{k−1}^{ε_{k−1}} \frac{∂x_{k}^{ε_{k}}}{∂x} .

Im Fall x_{k} ≠ x verschwindet der zweite Summand auf der rechten Seite, und die Behauptung folgt aus der Induktionsannahme. Andernfalls haben wir

\frac{∂x_{k}^{ε_{k}}}{∂x} = \{ \begin{matrix}1, & ε_{k} = 1 \\ −x_{i}^{−1}, & ε_{k} = −1, \end{matrix}

und dies ist in jedem Fall = ε_{k}x_{k}^{(ε_{k}−1)/2}. Die Behauptung folgt nun aus der Induktionsannahme.

Diese etwas unhandliche Formel für \frac{∂w}{∂x} enthält einen Summanden für jedes Vor-

kommen von x in dem Wort w = w = x_{1}^{ε_{1}} … x_{k}^{ε_{k}}. Ein Vorkommen der Form w = uxv

mit positivem Exponenten liefert einen Summanden u, und ein Vorkommen w =

ux^{−1}v mit negativem Exponenten einen Summanden −ux^{−1}.

Die Magnus-Einbettung

In diesem Kapitel konstruieren wir mit Hilfe des Fox-Kalküls die Magnus-Einbettung, wobei wir ausgiebig von den Darstellungen in [6] und [8] Gebrauch machen. Im letzten Teil des Kapitels wenden wir die Magnus-Einbettung auf unser Problem des Wachstums von Konjugiertenklassen an.

Für eine beliebige Gruppe G schreiben wir ℤG für den (ganzzahligen) Gruppenring von G.

Sei F die freie Gruppe auf einer Menge X, R ◁ F ein Normalteiler und G = F/R. Wir haben einen kanonischen Homomorphismus Θ : ℤF ⟶ ℤG, dessen Kern wir mit 𝔯 bezeichnen. Im Fall R = F erhalten wir den Augmentationshomomorphismus ϵ : ℤF ⟶ ℤ und das Augmentationsideal 𝔣 = ker ϵ von F.

Sei Ω ein freier Linksmodul über ℤG mit Basis (λ_{x})_{x∈X}. Dann haben wir den Ring

M = ( \begin{matrix}ℤG & Ω \\ 0 & ℤ \end{matrix} )

von 2 × 2-Matrizen mit Einträgen aus den angegebenen Mengen. Addition und Multiplikation in Ω ist in der für Matrizen üblichen Weise definiert. Das macht Sinn, weil Ω ein Linksmodul über ℤG und (wie jede abelsche Gruppe) ein Rechtsmodul über ℤ ist. Die Zuordnung

x ↦ ( \begin{matrix}Θ(x) & λ_{x} \\ 0 & 1 \end{matrix} )

für x ∈ X definiert einen Gruppenhomomorphismus ψ : F ⟶ M^{×} von F in die

Einheitengruppe von M. Die zu ψ(x) inverse Matrix ist dabei durch

ψ(x^{−1}) = ( \begin{matrix}Θ(x^{−1}) & −Θ(x^{−1})λ_{x} \\ 0 & 1 \end{matrix} )

gegeben. ψ besitzt eine kanonische Erweiterung zu einem Ringhomorphismus

ψ_{∗} : ℤF ⟶ M. Für u ∈ ℤF bezeichnen wir die (i, j)-Komponente von ψ_{∗}(u) mit

α_{ij}(u), d.h.

ψ_{∗}(u) = ( \begin{matrix}α_{11}(u) & α_{12}(u) \\ 0 & α_{22}(u) \end{matrix} ) .

Die folgende Proposition erklärt den Zusammenhang zwischen der Matrixdarstel-

lung ψ und den Fox-Derivationen, die Fortsetzung von \frac{∂}{∂x} zu einer additiven Abbil-

dung ℤF ⟶ ℤF bezeichnen wir dabei ebenfalls mit \frac{∂}{∂x}.

Proposition 8.1. Für alle u ∈ ℤF gilt:

(i) α_{11}(u) = Θ(u).

(ii) α_{22}(u) = ϵ(u).

(iii) α_{12}(u) = ∑_{x∈X} Θ(\frac{∂u}{∂x})λ_{x}.

Beweis. Die ersten beiden Behauptungen sind einfach: α_{11} : ℤF ⟶ ℤG (bzw. α_{22} : ℤF ⟶ ℤ) ist ein Ringhomomorphismus, der auf X mit Θ (bzw. mit ϵ) übereinstimmt. Die dritte Behauptung ist offenbar wahr, wenn u ∈ X^{±1} ist. Wir verwenden Induktion nach der Wortlänge und nehmen an, dass u = vw mit v, w ∈ F \ 1 ist. Wir erhalten wir durch Matrixmultiplikation, dass

α_{12}(u) = α_{11}(v)α_{12}(w) + α_{12}(v)α_{22}(w) = Θ(v)α_{12}(w) + α_{12}(v)

= Θ(v) ∑_{x∈X} Θ(\frac{∂w}{∂x})λ_{x} + ∑_{x∈X} Θ(\frac{∂v}{∂x})λ_{x}

= ∑_{x∈X} Θ(v \frac{∂w}{∂x} + \frac{∂v}{∂x})λ_{x} = ∑_{x∈X} Θ(\frac{∂u}{∂x})λ_{x}

gilt, wobei wir im dritten Schritt die Induktionsannahme verwendet haben. Damit ist die dritte Behauptung für alle u ∈ F bewiesen, der allgemeine Fall folgt nun aus der Additivität von α_{12} : ℤF ⟶ Ω.

Satz 8.2. Es gilt R′ = F ∩ (1 + 𝔯^{2}) = F ∩ (1 + 𝔯𝔣) = ker ψ.

Beweis. Seien r_{1}, r_{2} ∈ R. Dann gilt r_{1} − 1, r_{2} − 1 ∈ 𝔯, und aus

\begin{aligned}[r_{1}, r_{2}] − 1 & = r_{1}^{−1}r_{2}^{−1}r_{1}r_{2} − 1 = r_{1}^{−1}r_{2}^{−1}(r_{1}r_{2} − r_{2}r_{1}) \\ & = r_{1}^{−1}r_{2}^{−1}((r_{1} − 1)(r_{2} − 1) − (r_{2} − 1)(r_{1} − 1)) ∈ 𝔯^{2} \end{aligned}

schließen wir, dass [r_{1}, r_{2}] ∈ 1 + 𝔯^{2} gilt. Damit haben wir R′ ⊂ F ∩ (1 + 𝔯^{2}) gezeigt. Für u ∈ 𝔯 und v ∈ 𝔣 gilt

ψ_{∗}(u) = ( \begin{matrix}0 & α_{12}(u) \\ 0 & 0 \end{matrix} )

und

ψ_{∗}(v) = ( \begin{matrix}Θ(v) & α_{12}(v) \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Matrixmultiplikation ergibt ψ_{∗}(uv) = ψ_{∗}(u)ψ_{∗}(v) = 0. Also gilt 𝔯𝔣 ⊂ ker ψ_{∗}, und es folgt F ∩ (1 + 𝔯𝔣) ⊂ ker ψ.

Da die Inklusion F ∩ (1 + 𝔯^{2}) ⊂ F ∩ (1 + 𝔯𝔣) trivial ist, bleibt nur noch ker ψ ⊂ R′ zu zeigen. Wir nehmen das Gegenteil an und wählen ein w = x_{1}^{ε_{1}} … x_{l}^{ε_{l}}, x_{i} ∈ X, ε_{i} ∈ {±1} , von minimaler Länge mit w ∈ ker ψ \ R′. Wegen Proposition 8.1 gilt dann Θ(\frac{∂w}{∂x}) = 0 für alle x ∈ X. Nach Proposition 7.5 ist Θ(\frac{∂w}{∂x}) eine Summe von Monomen in Θ(X^{±1}) mit Koeffizienten ±1, mit einem Summanden für jedes Vorkommen von x in w. Weil Θ(\frac{∂w}{∂x}) = 0 für alle x ∈ X ist, können wir \{1, …, l\} so in Paare (i, j) partitionieren, dass gilt:

(i) x_{i} = x_{j}.

(ii) ε_{i} = −ε_{j}.

(iii) Θ(x_{1}^{ε_{1}} … x_{i−1}^{ε_{i−1}}x_{i}^{(ε_{i}−1)/2}) = Θ(x_{1}^{ε_{1}} … x_{j−1}^{ε_{j−1}}x_{j}^{(ε_{j}−1)/2}).

(iv) i < j.

Für jedes dieser Paare (i, j) können wir w = ax_{j}^{−ε_{j}}mx_{j}^{ε_{j}}e (in reduzierter Form) mit a, m, e ∈ F schreiben. Im Fall ε_{j} = 1 besagt (iii), dass Θ(ax_{j}^{−1}) = Θ(ax_{j}^{−1}m) und also m ∈ R gilt. Im Fall ε_{j} = −1 erhalten wir Θ(a) = Θ(ax_{j}mx_{j}^{−1}) und daraus x_{j}mx_{j}^{−1} ∈ R, so dass wiederum m ∈ R gilt.

Sei (i, j) das Paar, für das j am kleinsten ist. Wir haben i ≠ j − 1 wegen der Minimalität der Länge von w. Wegen der Minimalität von j gehört j − 1 zu einem Paar (j − 1, k) mit k > j. Wir können w also in der (reduzierten) Form

w = ax_{j}^{−ε_{j}}bx_{k}^{−ε_{k}}x_{j}^{ε_{j}}cx_{k}^{ε_{k}}d

schreiben. Aus dem Vorhergendenden folgt nun bx_{k}^{−ε_{k}}, x_{j}^{ε_{j}}c ∈ R, so dass

w = ax_{j}^{−ε_{j}}x_{j}^{ε_{j}}c ((x_{j}^{ε_{j}}c)^{−1}bx_{k}^{−ε_{k}}x_{j}^{ε_{j}}c(bx_{k}^{−ε_{k}})^{−1}) bx_{k}^{−ε_{k}}x_{k}^{ε_{k}}d = acrbd

für ein r ∈ R′ gilt. v = acbd erfüllt also v ≡ w (mod R′), und aufgrund von R′ ⊂ ker ψ folgt daraus v ∈ ker ψ \ R′. Wegen |v| ≤ |w| − 4 < |w| steht dies aber im Widerspruch zu der Wahl von w. Korollar 8.3. ψ : F ⟶ M^{×} induziert eine Einbettung μ : F/R′ ⟶ M^{×}.

Diese Einbettung μ wird Magnus-Einbettung genannt. Tatsächlich ist das Bild von μ in der Untergruppe

W = ( \begin{matrix}G & Ω \\ 0 & 1 \end{matrix} )

von M^{×} enthalten, die aus allen Matrizen mit linkem oberem Eintrag aus G besteht. W enthält die Untergruppen

Ω̃ = ( \begin{matrix}1 & Ω \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ≅ Ω

und

G̃ = ( \begin{matrix}G & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ≅ G.

Offenbar gilt Ω̃ ◁ W, Ω̃ ∩ G̃ = 1 und Ω̃G̃ = W. Also haben wir W ≅ Ω ⋊ G, wobei in dem semidirekten Produkten auf der rechten Seite die Operation von g ∈ G auf Ω wegen

( \begin{matrix}g & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}g^{−1} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & gx \\ 0 & 1 \end{matrix} )

durch x ↦ gx gegeben ist. Mit dem Isomorphismus

Ω = ⊕_{x∈X}ℤG = ⊕_{x∈X,g∈G}ℤ = ⊕_{g∈G}ℤ^{X}

erhalten wir also einen Isomorphismus

W ≅ ℤ^{X} ≀ G

zwischen W und dem Kranzprodukt von ℤ^{X} mit G, wobei ℤ^{X} die freie abelsche Gruppe auf der Menge X ist. Damit sind wir jetzt in der Lage, die Ergebnisse aus Kapitel 4 anzuwenden. Satz 8.4. Sei F eine endlich erzeugte freie Gruppe und G = F/R von polynomialem Wachstum. Dann gilt

R/R′ ⊂ PC(F/R′).

Beweis. Nach den vorausgehenden Überlegungen nimmt die Magnus-Einbettung von F/R′ die Gestalt μ : F/R′ ↪ W ≅ ℤ^{d} ≀G an, wobei d der Rang von F ist. Dabei wird R/R′ in die Basisgruppe abgebildet, so dass aus Satz 4.3 folgt, dass μ(R/R′) ⊂ PC(W) gilt. Die Behauptung folgt nun aus Proposition 1.8.

Ein besonders interessanter Spezialfall ist es wert, gesondert festgehalten zu werden. Die freie metabelsche Gruppe Γ auf einer erzeugenden Menge X ist das Analogon der freien Gruppe in der Klasse der metabelschen Gruppen (für die Definition von ”metabelsch“ siehe den Beginn von Kapitel 9). Γ ist definiert durch die übliche universelle Abbildungseigenschaft: Für jede metabelsche Gruppe G und jede Abbildung f : X ⟶ G gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus φ : Γ ⟶ G mit φ|X = f. Offensichtlich ist Γ ≅ F/F′′ für die freie Gruppe F auf X. Der Fall R = F′ von Satz 8.4 ergibt nun: Korollar 8.5. Für eine endlich erzeugte freie metabelsche Gruppe Γ gilt Γ′ ⊂ PC(Γ).

Offenbar ist jede (endlich erzeugte) metabelsche Gruppe ein Quotient einer (endlich erzeugten) freien metabelsche Gruppe. Die Behauptung von Korollar 8.5 gilt jedoch nicht für alle endlich erzeugten metabelschen Gruppen, wie in 11.1 gezeigt werden wird.

Metabelsche Gruppen

Eine Gruppe G heisst metabelsch, wenn sie einen abelschen Normalteiler N besitzt, so dass G/N abelsch ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Kommutatoruntergruppe G′ abelsch ist, d.h. wenn G′′ = 1 gilt. Metabelsche Gruppen sind nach den abelschen Gruppen die einfachsten auflösbaren Gruppen, besitzen jedoch bereits eine sehr komplexe Struktur.

Dieser Abschnitt dreht sich um die folgende Frage: Sei G endlich erzeugt und N ◁ G abelsch mit abelschem Quotienten. Gilt dann N ⊂ PC(G)?

Die analoge Frage für das Schreierwachstum ist sehr einfach zu beantworten. Es gilt nämlich: Proposition 9.1. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und N ein Normalteiler von G, so dass G/N virtuell nilpotent ist. Dann gilt Z(N) ⊂ PS(G). Insbesondere gilt N ⊂ PS(G), falls N und G/N abelsch sind. Beweis. Für x ∈ Z(N) gilt N ⊂ Z(x). Wegen Satz 1.3 wächst β_{G/N} polynomial, und nach Proposition 1.5 gilt γ_{x} = β_{G/Z(x)} ⪯ β_{G/N}.

Die Situation für das Cayleywachstum ist komplizierter. Im allgemeinen ist die Antwort auf die obige Frage negativ. Ein Gegenbeispiel geben wir in Kapitel 11. Falls allerdings G/N sogar zyklisch ist, sind wir in der Lage, einige positive Resultate zu beweisen, und wir vermuten, dass dann immer N ⊂ PC(G) gilt. Falls der Rang von G/N größer als 1 ist, wissen wir viel weniger über PC(G). Immerhin können wir zeigen, dass PC(G) ≠ 1 ist, falls N keine zu komplizierte abelsche Gruppe ist (9.16).

Eine Bewertung eines Körpers K ist eine Abbildung v : K ⟶ ℝ, so dass gilt:

(i) v(x) ≥ 0 für alle x ∈ K, und v(x) = 0 genau dann, wenn x = 0.

(ii) v(xy) = v(x)v(y) für alle x, y ∈ K.

(iii) v(x + y) ≤ v(x) + v(y) für alle x, y ∈ K. Ein Körper zusammen mit einer Bewertung heisst bewerteter Körper. Anstelle von v(x) schreiben wir meist |x|_{v} oder einfach |x| . Verwechslungen mit der Betragsnotation für Wortlängen sind nicht zu befürchten.

Sei V ein Vektorraum über einem bewerteten Körper K. Eine Norm ist eine Abbildung V ⟶ ℝ, x ↦ ∥x∥ , so dass gilt:

(i) ∥x∥ ≥ 0 für alle x ∈ V.

(ii) ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ für alle λ ∈ K und x ∈ V.

(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ für alle x, y ∈ V. Wir nennen zwei Normen ∥·∥_{1} , ∥·∥_{2} auf V äquivalent, wenn es Konstanten c, C > 0 gibt, so dass

c ∥x∥_{2} ≤ ∥x∥_{1} ≤ C ∥x∥_{2}

für alle x ∈ V gilt. Dies stimmt genau mit den Begriffen überein, die man aus der Differential- und Integralrechnung kennt, wenn K der Körper der reellen oder komplexen Zahlen (mit dem üblichen Betrag als Bewertung) ist. Viele der grundlegenden Eigenschaften dieser Normen übertragen sich auf unsere Situation, z.B. induziert eine Norm auf einem Vektorraum eine Metrik, deren Topologie nicht von der Äquivalenzklasse der Norm abhängt. Eine Norm auf V induziert eine Norm auf End(V), dem Raum der stetigen linearen Selbstabbildungen von V, durch

∥A∥ = sup_{x≠0} \frac{∥Ax∥}{∥x∥}.

Es ist im allgemeinen aber nicht richtig, dass alle Normen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum äquivalent sind, falls K nicht vollständig (bezüglich der Metrik dist(x, y) = |x − y|) ist. Es gilt aber:

Lemma 9.2. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem bewerteten Körper K. Ist B = (b_{1}, …, b_{n}) eine Basis von V, so definiert

∥ ∑_{i=1}^{n} x_{i}b_{i}∥_{B} = max_{i=1,...,n} |x_{i}|

eine Norm auf V, deren Äquivalenzklasse nicht von B abhängt. Beweis. Es ist offensichtlich, dass ∥·∥_{B} eine Norm ist. Sei also B′ = (b′_{1}, …, b′_{n}) eine weitere Basis. Mit der Basiswechselmatrix A = (a_{ij}) schreiben wir

b_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}b′_{i}.

Für jedes x = ∑_{j=1}^{n} x_{j}b_{j} ∈ V gilt dann

x = ∑_{j=1}^{n} ( ∑_{i=1}^{n} a_{ij}x_{j})b′_{i},

und wir erhalten

∥x∥_{B′} = max_{i=1,...,n} | ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}| ≤ C ∥x∥_{B}

mit C = max_{i} ∑_{j=1}^{n} |a_{ij}| .

Im Folgenden verwenden wir stets eine Maximumsnorm wie in Proposition 9.2. Wegen der Äquivalenz dieser Normen kommt es dabei nicht auf die Wahl einer bestimmten Basis an.

Sei K ein bewerteter Körper, x ∈ K^{d} und A ∈ Mat(d, d; K). Wir nennen x einen polynomialen Vektor vom Grad ≤ k (zu A), falls es eine Konstante C > 0 gibt mit ∥A^{n}x∥ ≤ Cn^{k} für alle n ∈ ℕ. Wir nennen x einen exponentiellen Vektor (zu A), falls es b > 1 und C > 0 gibt mit ∥A^{n}x∥ ≥ Cb^{n} für alle n ∈ N. Den Hauptraum (oder verallgemeinerten Eigenraum) von A zum Eigenwert λ bezeichnen wir mit Hau(A; λ).

Das folgende Lemma ist eine diskrete Version von [4, ??]. Lemma 9.3. Das charakteristische Polynom von A ∈ Mat(d, d; K) zerfalle über dem bewerteten Körper K in Linearfaktoren. Dann gilt für jedes x ∈ K^{d} :

(i) Es gilt lim_{n→∞} A^{n}x = 0 genau dann, wenn x ∈ ⨁_{|λ|<1} Hau(A; λ). In diesem Fall gibt es C > 0 und b ∈ (0, 1) mit ∥A^{n}x∥ ≤ Cb^{n} für alle n ∈ ℕ.

(ii) x ist genau dann ein polynomialer Vektor, wenn x ∈ ⨁_{|λ|≤1} Hau(A; λ). In diesem Fall ist x polynomial vom Grad ≤ d.

(iii) x ist genau dann ein exponentieller Vektor, wenn x kein polynomialer Vektor ist.

Beweis. Wir haben die Zerlegung K^{d} = ⨁_{λ} Hau(A; λ) von K^{d} in die verallgemeinerten Eigenräume von A. Wir wählen eine Basis für jeden dieser Summanden und erhalten so eine Basis von K^{d}. Die zugehörige Maximumsnorm erfüllt ∥x∥ = ∑_{λ} ∥x_{λ}∥ für jedes x = ∑_{λ} x_{λ} ∈ K^{d}. Also ist x genau dann ein polynomialer Vektor, wenn dies für jede Komponente x_{λ} gilt, und lim A^{n}x = 0 ist äquivalent zu lim A^{n}x_{λ} = 0 für alle λ. Wir können also ohne Einschränkung annehmen, dass A nur einen Eigenwert λ besitzt. Dann können wir A = λI + N mit der Einheitsmatrix I und nilpotentem N schreiben, und wegen N^{d} = 0 gilt

A^{n} = ∑_{i=0}^{d} \binom{n}{i}λ^{n−i}N^{i}

für alle n ≥ d. Es folgt

∥A^{n}x∥ ≤ ∥A^{n}∥ ∥x∥ ≤ |lambda|^{n} P (n),

wobei P (n) = ∥x∥ ∑_{i=0}^{d} \frac{∥N^{i}∥}{|λ|^{i}} \binom{n}{i} ein Polynom vom Grad ≤ d ist. Für |λ| = 1 ist also x ein polynomialer Vektor vom Grad ≤ d, und für |λ| < 1 erhalten wir ∥A^{n}x∥ ≤ Cb^{n} für geeignete C > 0, b ∈ (λ, 1).

Es bleibt zu zeigen, dass jedes x = (x_{1}, …, x_{d}) ≠ 0 ein exponentieller Vektor ist, falls |λ| > 1 für den einzigen Eigenwert λ von A gilt. Dazu können wir annehmen, dass A eine obere Dreiecksmatrix ist. Sei i maximal, so dass x_{i} ≠ 0. Die i-te Komponente von A^{n}x ist dann gleich λ^{n}x_{i}, und mit der Maximumsnorm ∥y∥ = max_{i} |y_{i}| gilt dann ∥A^{n}x∥ ≥ |λ|^{n} |x_{i}| für alle n ≥ 0.

Wir benötigen im Weiteren den folgenden Fakt aus der algebraischen Zahlentheo-

rie.

Lemma 9.4. Sei K ein algebraischer Zahlkörper (d.h. ein endlicher Erweiterungskörper von ℚ) und x ∈ K. Dann ist x genau dann eine Einheitswurzel, wenn |x| = 1 für jede Bewertung von K gilt. Ist x keine Einheitswurzel und x ≠ 0, so gibt eine Bewertung von K mit |x| > 1.

Beweis. Für einen Beweis verweisen wir auf [13]: Die erste Behauptung folgt aus Prop. I.7.1 in [13], indem man die Bewertungen von K betrachtet, die durch die verschiedenen Einbettungen K ↪ ℂ von dem Standardbetrag der komplexen Zahlen auf K induziert werden. Die zweite Behauptung folgt aus der ersten zusammen mit der Produktformel [13, III.1.3].

Die nächste Proposition ist eine Erweiterung von Prop. VII.5 aus [3]. Das vorher-

gehende Lemma findet sich ebenfalls in [3].

Lemma 9.5. Sei K ein bewerteter Körper der Charakteristik 0, B ∈ GL(d, K) und λ ∈ K ein Eigenwert von B mit |λ| ≥ 2. Dann gibt es ein v ∈ ℤ^{d} ⊂ K^{d}, so dass für jedes k ≥ 0 die 2^{k+1} Vektoren

ε_{0}v + ε_{1}Bv + … + ε_{k}B^{k}v

mit ε_{0}, …, ε_{k} ∈ {0, 1} paarweise verschieden sind.

Beweis. Sei x = (x_{1}, …, x_{d}) ∈ K^{d} ein Eigenvektor der zu B transponierten Matrix B^{t} zum Eigenwert λ. Dann ist

φ : K^{d} ⟶ K, v = (v_{1}, …, v_{n}) ↦ x^{t} · v = ∑_{i=1}^{d} x_{i}v_{i}

eine nichtverschwindende Linearform, und wegen

φ(Bv) = x^{t}Bv = (B^{t}x)^{t}v = λx^{t}v = λφ(v)

gilt φ ∘ B = λφ. Wir wählen v ∈ ℤ^{d}, so dass φ(v) ≠ 0. Dann gilt

φ(ε_{0}v + ε_{1}Bv + … + ε_{k}B^{k}v) = ( ∑_{i=0}^{k} ε_{i}λ^{i})φ(v).

Wenn die Behauptung falsch wäre, gäbe es also ein Polynom P (X) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ≠ 0 vom Grad n ≤ k mit Koeffizienten aus {0, ±1} und P (λ) = 0. Das kann aber nicht sein, weil dann

|λ|^{n} = |a_{n}λ^{n}| = |∑_{i=0}^{n−1} a_{i}λ^{i}| ≤ ∑_{i=0}^{n−1} |λ|^{i} = \frac{1 − |λ|^{n}}{1 − |λ|}

und daraus wegen |λ| ≥ 2 der Widerspruch

|λ|^{n} ≤ (|λ| − 1) |λ|^{n} ≤ |λ|^{n} − 1

folgen würde.

Proposition 9.6. Sei G = ℤ^{d} ⋊_{A} ℤ das semidirekte Produkt von ℤ^{d} mit ℤ bezüglich A ∈ GL(d; ℤ), das heisst wir haben (0, n)(x, 0)(0, −n) = (A^{n}x, 0) für alle x ∈ ℤ^{d}, n ∈ ℤ. Dann sind äquivalent:

(i) G wächst polynomial.

(ii) Das relative Wachstum von ℤ^{d} in G ist polynomial. (D.h. β_{ℤ^{d}}^{(G)} wächst polynomial.)

(iii) Alle Eigenwerte von A sind Einheitswurzeln.

Ist dies nicht der Fall, so wächst β_{ℤ^{d}}^{(G)} (und erst recht β_{G}) exponentiell.

Beweis. (i) ⇒ (ii) ist trivial. Zum Beweis von (ii) ⇒ (iii) sei K der von den Eigenwerten von A erzeugte Erweiterungskörper von ℚ. Wenn (iii) nicht erfüllt ist, gibt es nach Satz 9.4 eine Bewertung |·| von K und einen Eigenwert λ von A mit |λ| ≠ 1. Für eine geeignete Potenz B = A^{r} mit r ∈ ℤ sind dann die Voraussetzungen von Lemma 9.5 erfüllt. Für jedes k ≥ 0, beliebige ε_{0}, …, ε_{k} ∈ {0, 1} und v ∈ ℤ^{d} wie im Lemma gilt dann

(ε_{0}v, r)(ε_{1}v, r) … (ε_{k}v, r) = (ε_{0}v + ε_{1}B(v) + … + ε_{k}B^{k}(v), (k + 1)r) .  (9.1)

Tatsächlich ist dies für k = 0 trivial und folgt für k ≥ 1 induktiv aus

\begin{aligned}(ε_{0}v, r)(ε_{1}v, r) … (ε_{k}v, r) & = (ε_{0}v + ε_{1}B(v) + … + ε_{k−1}B^{k−1}(v), kr) (ε_{k}v, r) \\ & = (ε_{0}v + ε_{1}B(v) + … + ε_{k−1}B^{k−1}(v) + ε_{k}A^{kr}(v), (k + 1)r) . \end{aligned}

Die Elemente aus (9.1) sind nach Lemma 9.5 paarweise verschieden und haben Wortlänge ≤ (k + 1) |(v, r)| , so dass β_{ℤ^{d}}^{(G)}(k) ⪰ 2^{k} gilt.

Es bleibt die Implikation (iii) ⇒ (i) zu zeigen. Wenn (iii) erfüllt ist, so gibt es eine Potenz B = A^{k} (mit k ≥ 1) von A mit 1 als einzigem Eigenwert. Die Untergruppe ℤ^{d} ⋊ (kℤ) von G hat endlichen Index und ist isomorph zu ℤ^{d} ⋊_{B} ℤ. Wir dürfen also ohne Einschränkung B = A annehmen, d.h. A hat nur den Eigenwert 1. Dann können wir A über ℤ auf obere Dreiecksgestalt bringen, d.h. es gibt eine Kette

0 = U_{0} ⊂ U_{1} ⊂ … ⊂ U_{d} = ℤ^{d}

von Untergruppen von ℤ^{d}, s.d. gilt: U_{i} ≅ ℤ^{i}, A(U_{i}) ⊂ U_{i}, und A operiert als die Identität auf U_{i+1}/U_{i}. Mit der Inklusion j : ℤ^{d} ↪ G, x ↦ (x, 0) erhalten die folgende Reihe von Untergruppen von G :

1 = G_{0} ≤ G_{1} ≤ … ≤ G_{d} ≤ G_{d+1} = G,

wobei G_{i} = j(U_{i}) für i = 0, …, d. Dies ist eine zentrale Reihe für G. Denn jedes G_{i} ist normal in G wegen der A-Invarianz der U_{i}, es gilt G′ = [G, G] ≤ G_{d}, weil G/G_{d} ≅ ℤ abelsch ist, und schließlich ist

(x, n)(u_{i}, 0) = (x + A^{n}u_{i}, n) ≡ (x + u_{i}, n) = (u_{i}, 0)(x, n) (mod G_{i−1})

für alle 1 ≤ i ≤ d, u_{i} ∈ U_{i}, (x, n) ∈ G, woraus [G, G_{i}] ≤ G_{i−1} für alle i folgt. Damit ist G virtuell nilpotent und also (nach der einfacheren Hälfte von 1.3) von polynomialem Wachstum.

Ein Gewicht auf einer Gruppe G ist eine Abbildung ℓ : G ⟶ [0, ∞), so dass

ℓ(gh) ≤ ℓ(g) + ℓ(h)

für alle g, h ∈ G gilt. In Ermangelung einer besseren Terminologie nennen wir ℓ

regulär, wenn es für jeden Automorphismus φ von G eine Konstante C > 0 gibt, so

dass ℓ(φ(g)) ≤ Cℓ(g) für alle g ∈ G gilt.

Der Begriff des Gewichts ist eine sehr starke Verallgemeinerung der Wortlänge auf

einer Gruppe. Wir verwenden (reguläre) Gewichte, um das folgende Lemma möglichst

allgemein formulieren zu können. Alle für uns relevanten Gewichte entstehen in einer

der folgenden Situationen:

(i) G ist eine Untergruppe einer endlich erzeugten Gruppe H, und ℓ ist die Ein-

schränkung einer Wortlänge von H auf G.

(ii) G ist eine abelsche Gruppe von endlichem Rang, und ℓ(g) = ∥g ⊗ 1∥ für eine

Norm auf dem rationalen Vektorraum G ⊗_{ℤ} ℚ.

Lemma 9.7. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe mit Normalteiler N, so dass G/N abelsch ist. Dann gibt es für jedes reguläre Gewicht ℓ auf N Konstanten B > 1, C > 0 so dass

ℓ(y) ≤ CB^{|y|^{G}}

für alle y ∈ N gilt.

Beweis. Wegen Proposition 1.4 können wir ohne Einschränkung annehmen, dass G/N frei abelsch ist. Wir wählen g_{1}, …, g_{m} ∈ G, so dass die g_{i}N eine Basis von G/N bilden. Weil G/N abelsch ist, ist die endliche Menge T der Kommutatoren g_{i}^{±1}g_{j}g_{i}^{∓1}g_{j}^{−1}, 1 ≤ i, j ≤ m, in N enthalten. Jedes g_{i} induziert durch Konjugation x ↦ g_{i}xg_{i}^{−1} einen Isomorphismus von N, den wir mit φ_{i} bezeichnen. Wegen G = ⟨N, g_{1}, …, g_{m}⟩ gibt es ein endliches Erzeugendensystem S = {g_{1}, …, g_{m}, x_{1}, … x_{n}} mit T ⊂ {x_{1}, … x_{n}} ⊂ N. Für jedes solche S setzen wir C_{S} = max_{j=1,...n} ℓ(x_{j}). Außerdem wählen wir b ≥ 2, so dass ℓ(φ_{i}(x)) ≤ bℓ(x) für alle i ∈ {1, …, m} , x ∈ N gilt.

Für jedes Wort w in den Erzeugern S von G schreiben wir |w|_{g} für die Anzahl der Vorkommen eines g_{i}^{±1} in w. Sei nun y ∈ N, y ≠ 1 und y = w(g_{i}, x_{j}) = w(g_{1}, … g_{m}, x_{1}, … x_{n}) eine Darstellung von y als Wort auf S. Wir zeigen nun per Induktion nach |w|_{g}, dass ℓ(y) ≤ C_{S} |w| b^{|w|^{g}} gilt. Falls |w|_{g} = 0 gilt, so ist w ein Wort positiver Länge in den x_{j} ∈ N, und nach Definition von C_{S} gilt ℓ(y) ≤ C_{S} |w| . Damit ist der Induktionsanfang abgeschlossen. Für den Induktionsschritt sei |w|_{g} > 0. Dann ist w von der Form

w = w_{1}g_{k}^{±1}w_{2}g_{k}^{∓1}w_{3},

weil y = w(g_{i}, x_{j}), x_{1}, … x_{n} ∈ N gilt und die g_{i} eine Basis von G/N bilden. Wir haben

g_{k}^{±1}w_{2}(g_{i}, x_{j})g_{k}^{∓1} = w_{2}(t_{1}g_{1}, …, t_{m}g_{m}, φ_{k}^{±1}(x_{1}), …, φ_{k}^{±1}(x_{n}))  (9.2)

mit t_{i} = g_{k}^{±1}g_{i}g_{k}^{∓1}g_{i}^{−1} ∈ T. Wir betrachten nun das endliche Erzeugendensystem

S′ = S ∪ {φ_{k}^{±1}(x_{j}) : 1 ≤ j ≤ n} ,

das die gleichen Voraussetzungen wie S erfüllt. Wir können die rechte Seite von (9.2)

als Wort w̃_{2}(g_{1}, …, g_{m}, x_{1}, … x_{n}, φ_{k}^{±1}(x_{1}), … φ_{k}^{±1}(x_{n})) auf S′ schreiben mit \left|{ \atop w̃_{2}}\right|_{g} =

|w_{2}|_{g} und \left|{ \atop w̃_{2}}\right| ≤ 2 |w_{2}| . Wir haben dann das Wort w̃ = w_{1}w̃_{2}w_{3} auf S′, das y darstellt, und es gilt \left|{ \atop w̃}\right|_{g} = |w|_{g} − 2 und \left|{ \atop w̃}\right| ≤ 2 |w| . Wir können nun die Induktionsvoraussetzung für S′ auf w̃ anwenden und erhalten

ℓ(y) ≤ C_{S′} \left|{ \atop w̃}\right| b^{^{\left|{ \atop w̃}\right|}^{g}} ≤ C_{S} \left|{ \atop w̃}\right| b^{\left|{ \atop w̃}\right|_{g}+1} ≤ 2C_{S} |w| b^{\left|{ \atop w̃}\right|_{g}+1} ≤ C_{S}b^{|w|^{g}},

weil C_{S′} ≤ bC_{S} und b ≥ 2 gilt.

Wir haben damit bewiesen, dass ℓ(y) ≤ C_{S} |y|_{G} b^{|y|^{G}} für alle y ∈ N \ 1 gilt. Die Behauptung folgt, indem wir b und C_{S} genügend vergrößern.

Unter dem Rang einer (nicht notwendig endlich erzeugten) abelschen Gruppe N

verstehen wir die Dimension von N ⊗_{ℤ} ℚ als ℚ-Vektorraum. Dieser Begriff ist in der

Literatur auch als torsionsfreier Rang oder ℚ-Rang bekannt.

Den folgenden Satz entnehmen wir [16]:

Satz 9.8. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und N ◁G ein nilpotenter Normalteiler, so dass G/N unendlich zyklisch ist. Dann sind äquivalent:

(i) G ist endlich präsentiert.

(ii) N/N′ hat endliche Torsionsuntergruppe und endlichen Rang, und es gibt g ∈ G, so dass G/N = ⟨gN⟩ ist und die Konjugation mit g einen Automorphismus von N_{ℚ} = (N/N′) ⊗_{ℤ} ℚ mit ganzzahligem charakteristischem Polynom induziert.

Beweis. [16, Thm. 16]

Satz 9.9. Sei G eine endlich präsentierte Gruppe mit abelschem Normalteiler N ◁G, so dass G/N zyklisch ist. Dann gilt N ⊂ PC(G).

Beweis. Die Torsionsuntergruppe Tor N von N ist nach 9.8 endlich und als charakteristische Untergruppe von N normal in G. Indem wir G durch G/ Tor(N) ersetzen, können wir nach Proposition 1.12 annehmen, dass N torsionsfrei ist.

Falls G/N endlich ist, so ist G virtuell abelsch und somit von polynomialem Wachstum. Wir setzen also voraus, dass G/N unendlich ist und wählen ein g ∈ G mit G/N = ⟨gN⟩ ≅ ℤ. Wir haben nach 9.8 eine Einbettung N ⊂ N_{ℚ} von N in den endlichdimensionalen rationalen Vektorraum N_{ℚ} = N ⊗ ℚ. Da N_{ℚ} von N (als Vektorraum) erzeugt wird, können wir annehmen, dass N ≤ ℚ^{d} gilt (mit d = dim_{ℚ} N_{ℚ}). Wenn die Operation von g auf N_{ℚ} durch A ∈ GL(d, ℚ) gegeben ist, können wir G mit dem semidirekten Produkt N ⋊_{A} ℤ ⊂ ℚ^{d} ⋊_{A} ℤ identifizieren. Wir verwenden im Folgenden die additive Notation für N.

Wir betrachten zunächst den Fall, dass keine Einheitswurzel als Eigenwert von A auftritt. Sei x ∈ N, x ≠ 0. Wir zeigen, dass die ”positive Hälfte“ {(A^{k}(x), 0) : k ≥ 0} der Konjugiertenklasse von (x, 0) in N ⋊ℤ polynomial wächst. Aus Symmetriegründen (Ersetzen von A durch A^{−1}) folgt daraus dann, dass (x, 0) ∈ PC(G) gilt.

Wir wählen eine endliche Erweiterung K von ℚ, so dass das charakteristische Polynom von A über K in Linearfaktoren zerfällt. Sei λ ein Eigenwert von A, so dass die λ−Komponente von x in der kanonischen Zerlegung K^{d} = ⨁_{λ} Hau(A; λ) nicht verschwindet. Da λ keine Einheitswurzel ist, können wir nach Lemma 9.4 eine Bewertung |·| von K mit |λ| > 1 wählen. Mit dieser Bewertung ist dann x nach Lemma 9.3 ein exponentieller Vektor zu A, d.h. es gilt ∥A^{k}(x)∥ ≥ cb^{k} für geeignete Konstanten c > 0, b > 1, wobei ∥·∥ eine Maximumsnorm ist. Sei nun n ≥ 0 beliebig. Gilt |(A^{k}(x), 0)|_{G} ≤ n für ein k ≥ 0, so folgt mit Lemma 9.7, dass

cb^{k} ≤ ∥A^{k}(x)∥ ≤ CB^{n}

und also k ≤ log(C/c)+n log B gilt, wobei log den Logarithmus zur Basis b bezeichnet. Also ist {(A^{k}(x), 0) : k ≥ 0} in G von linearem Wachtum.

Es bleibt der Fall zu betrachten, dass A eine Einheitswurzel als Eigenwert hat. Indem wir A durch eine geeignete Potenz A^{k} (und G durch die Untergruppe N ⋊ kℤ von endlichem Index) ersetzen, können wir annehmen, dass 1 ein Eigenwert von A ist, und alle anderen Eigenwerte keine Einheitswurzeln sind. Dann können wir

ℚ^{d} = Hau(A; 1) ⊕ W

als direkte Summe A-invarianter Unterräume schreiben (rationale kanonische Form). Wir setzen N_{1} = N ∩ Hau(A; 1), N_{2} = N ∩ W. Durch die Zuordnung

(n_{1} + n_{2}, k) ↦ ((n_{1}, k), (n_{2}, k))

für n_{i} ∈ N_{i}, k ∈ ℤ erhalten wir eine Einbettung

(N_{1} ⊕ N_{2}) ⋊ ℤ ⟶ (N_{1} ⋊ ℤ) × (N_{2} ⋊ ℤ).

Die Operation von ℤ auf N_{2} hat keine Einheitswurzeln als Eigenwerte, und N_{1} ⋊ℤ ist nilpotent (Beweis wie in Lemma 9.6). Wegen Proposition 1.13 erhalten wir mit dem schon Bewiesenen, dass N_{1}⊕N_{2} ⊂ PC(G) gilt. Für ein beliebiges x ∈ N können wir ein n ∈ ℤ finden, so dass nx ∈ N_{1} ⊕ N_{2} ist. y ↦ ny bildet x^{G} bijektiv auf (nx)^{G} = nx^{G} ab, weil N torsionsfrei ist. Aus |ny|_{G} ≤ |n| |y|_{G} folgt nun β_{x}^{(G)}(k) ≤ β_{nx}^{(G)}(nk) und damit x ∈ PC(G), womit der Beweis beendet ist.

Wir wissen nicht, ob 9.9 richtig bleibt, wenn G lediglich als endlich erzeugt vorausgesetzt wird. Es stellt sich also folgende Frage:

Sei G eine endlich erzeugte Gruppe G mit abelschem Normalteiler N, so dass G/N zyklisch ist. Gilt dann N ⊂ PC(G)?

Jedenfalls kennen wir einige Beispiele für endlich erzeugte, nicht endlich präsentierte Gruppen G mit abelschem Normalteiler N und zyklischem G/N, für die N ⊂ PC(G) gilt. Für ein Kranzprodukt G = A ≀ ℤ mit endlich erzeugtem abelschem A z.B. gilt B = ∏_{ℤ} A ⊂ PC(G). Als einen kleinen Schritt zur Beantwortung der obigen Frage beweisen wir im Folgenden, dass unter den genannten Voraussetzungen immer Tor N ⊂ PC(G) gilt.

Das folgende Lemma entnehmen wir [1]. Dort dient es als erster Schritt im Beweis des Satzes, dass jede endlich erzeugte metabelsche Gruppe eine Einbettung in eine endlich präsentierte metabelsche Gruppe besitzt. Lemma 9.10. Sei G endlich erzeugt und N ◁ G ein abelscher Normalteiler, so dass auch G/N abelsch ist. Dann gibt es eine Einbettung β : G ↪ (A ≀ G/N)/K mit β(N) ≤ B/K, wobei A endlich erzeugt abelsch, B die Basisgruppe des Kranzproduktes und K ◁ A ≀ G/N in B enthalten ist. Beweis. Wir wählen einen Epimorphismus ψ : F ⟶ G mit einer freien Gruppe F vom Rang n und setzen R = ker ψ, S = ψ^{−1}(N). Dann gilt S′ ≤ R ≤ S, weil N abelsch ist, und die Magnus-Einbettung μ : F/S′ ↪ ℤ^{n} ≀ F/S ≅ ℤ^{n} ≀ G/N bildet R/S′ in die Basisgruppe B des Kranzproduktes ab. K = μ(R/S′) ist ein Normalteiler, denn für alle r ∈ R, b ∈ B und w ∈ F gilt

(b, wS)^{−1}μ(rS′)(b, wS) = (0, wS)^{−1}μ(rS′)(0, wS) = μ(wS′)^{−1}μ(rS′)μ(wS′).

Hierbei beachte man, dass B abelsch und die F/S-Komponente von μ(wS′) gleich wS ist.

Der Kern der Komposition β′ : F/S′ ⟶ ℤ^{n} ≀ F/S ⟶ (ℤ^{n} ≀ F/S)/K von μ mit der kanonischen Abbildung ist gegeben durch ker β′ = μ^{−1}(K) = R/S′, so dass wir eine Einbettung

β : G ≅ F/R ≅ \frac{F/S′}{R/S′} ⟶ (ℤ^{n} ≀ F/S)/K

erhalten. Wegen μ(S/S′) ≤ B gilt dabei β(N) ≤ B/K, womit alles gezeigt ist.

Lemma 9.11. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und K ≤ N ◁ G, so dass N und G/N abelsch sind und K ein Normalteiler in G ist. Dann ist K als Normalteiler von G endlich erzeugt, d.h. es gibt x_{1}, … x_{n} ∈ K mit

K = ⟨gx_{i}g^{−1}, 1 ≤ i ≤ n, g ∈ G⟩.

Beweis. Das ist ein Spezialfall von [14, 15.3.1]. Wir skizzieren die hier relevanten Beweisschritte:

Die Operation von G auf N induziert eine Modulstruktur auf der abelschen Gruppe N über dem Gruppenring ℤG/N. Die in N enthaltenen Normalteiler von G sind dann genau die ℤG/N-Untermoduln von N, und weil der Gruppenring der endlich erzeugten abelschen Gruppe G/N noethersch ist, genügt es, die Behauptung für K = N zu beweisen. Dazu wählen wir einen Epimorphismus φ : F ⟶ G mit einer freien Gruppe F von endlichem Rang, setzen S = φ^{−1}(N) und erhalten eine Präsentierung S ◁ F ⟶ G/N von G/N. Weil G/N endlich präsentiert ist, wird S als Normalteiler von F von einer endlichen Menge erzeugt. Das Bild dieser Menge unter φ ist dann ein Erzeugendensystem des Normalteilers N von G.

Lemma 9.12. Sei W = G ≀ H das Kranzprodukt zweier Gruppen G, H und B = ∏_{h∈H} G_{h} die Basisgruppe von W (mit G_{h} = G für alle h ∈ H.) Sei K ◁ G_{1} und K^{W} ◁ W der von K erzeugte Normalteiler von W. Dann ist K^{W} = ∏_{h∈H} K_{h} mit K_{h} = (1, h)^{−1}K(1, h) und W/K^{W} ≅ (G/K) ≀ H.

Beweis. Offenbar ist jedes K_{h} in K^{W} enthalten und das Produkt der K_{h}, h ∈ H ist direkt, weil K_{h} ≤ G_{h} gilt. Außerdem gilt ∏_{h∈H} K_{h} ◁ W, weil K normal in G ist. Die erste Behauptung folgt.

Zum Beweis der zweiten Behauptung betrachte den Homomorphismus π : W ⟶ (G/K) ≀ H mit

π((g_{h})_{h∈H}, h′) = ((g_{h}K)_{h∈H}, h′),

der offenbar surjektiv ist und für den ker π = ∏_{h∈H} K_{h} = K^{W} gilt.

Satz 9.13. Sei G endlich erzeugt und N ◁ G ein abelscher Normalteiler, so dass G/N zyklisch ist. Dann hat jede Konjugiertenklasse von Torsionselementen aus N höchstens lineares Wachstum. Insbesondere gilt

Tor N ⊂ PC(G).

Beweis. Da die Behauptung für endliches G/N trivial ist, können wir G/N ≅ ℤ annehmen. Nach Lemma 9.10 und Proposition 1.10 können wir außerdem annehmen, dass G = W/K ist, wobei W = A ≀ ℤ das Kranzprodukt einer endlich erzeugten abelschen Gruppe A mit ℤ und K ◁W ein in der Basisgruppe B = ⊕_{n∈ℤ}A enthaltener Normalteiler ist. Für k ∈ ℤ bezeichnen wir den zu k-ten Summanden von B mit A_{k} und die k-te Komponente von b ∈ B mit b_{k} ∈ A_{k}. Nach Lemma 9.12 können wir annehmen, dass A_{k} ∩ K = 0 für jedes k ∈ ℤ gilt, indem wir A durch A/(A_{0} ∩ K) ersetzen. Die Konjugation mit dem Erzeuger 1 von ℤ induziert einen ”Shift“- Automorphismus σ : B ⟶ B mit σ(A_{k}) = A_{k+1}. Aufgrund von Lemma 9.11 können wir z^{(1)}, …, z^{(n)} ∈ K wählen, so dass K = ⟨σ^{k}(z^{(i)}) : k ∈ ℤ, 1 ≤ i ≤ n⟩ gilt.

Sei x ∈ B, so dass xK ∈ Tor N ist. Wir wählen ein gerades, positives d ∈ ℤ, so dass supp x ⊂ (−d/2, d/2) und supp z^{(i)} ⊂ (−d/2, d/2) für 1 ≤ i ≤ n ist. Für k ∈ dℤ setzen wir Ã_{i} = A_{k−d/2} ⊕ … ⊕ B_{A+d/2−1}. Die Untergruppe B ⋊ dℤ von B ⋊ ℤ = A ≀ ℤ hat endlichen Index. Wir haben einen Isomorphismus φ : B ⋊ dℤ = ⨁_{k∈dℤ} Ã_{k} ⋊ dℤ ≅ A^{d} ≀ dℤ der jeweils d aufeinanderfolge Summanden von B mit einer Kopie von A^{d} in der Basisgruppe des Kranzprodukts A^{d} ≀ dℤ identifiziert, und es gilt supp φ(x) ⊂ {0} . Für 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j < d haben wir supp φ(σ^{j}(z^{(i)})) ⊂ {0, 1} und die σ^{j}(z^{(i)}), 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j < d erzeugen K als Normalteiler von B ⋊ dℤ. Wegen Proposition 1.10 können wir also ohne Einschränkung annehmen, dass x ∈ B_{0} ist und supp z^{(i)} ⊂ {0, 1} für 1 ≤ i ≤ n gilt.

Für jedes k ∈ ℤ setzen wir x^{(k)} = σ^{k}(x) und wählen b^{(k)} ∈ B mit b^{(k)} ≡ x^{(k)} (mod K), so dass |b^{(k)}|_{W} minimal ist. Dann gilt |b^{(k)}|_{W} = |x^{(k)}K|_{G} , so dass wir also zu zeigen haben, dass {b^{(k)} : k ∈ ℤ} in W (höchstens) linear wächst. Aus Symmetriegründen reicht es offenbar zu beweisen, dass dies für {b^{(k)} : k ≥ 0} gilt. Das ist klar, falls |b^{(k)}|_{W} ≥ k für alle genügend großen k ∈ ℕ gilt.

Wir betrachten nun den anderen Fall, dass es unendlich viele k ≥ 0 mit |b^{(k)}|_{W} < k gibt, und zeigen, dass die Konjugiertenklasse von xK in G dann sogar endlich ist. Für ein beliebiges m ≥ 0 wählen wir k ≥ 2m mit |b^{(k)}|_{W} < k. Insbesondere gilt dann supp b^{(k)} ⊂ [−k/2, k/2] (Lemma 4.4). Wir können z = x^{(k)}(b^{(k)})^{−1} ∈ K als Produkt von Konjugierten der z^{(i)} schreiben:

z = ∏_{j∈ℤ} ∏_{i=1}^{n}(σ^{j}(z^{(i)}))^{e_{ij}},

wobei die e_{ij} ∈ ℤ fast alle verschwinden. Wir definieren nun

ẑ = ∏_{j≥k−m} ∏_{i=1}^{n}(σ^{j}(z^{(i)}))^{e_{ij}}.

Wegen supp σ^{j}(z^{(i)}) ⊂ {j, j + 1} , supp x^{(k)} ⊂ {k} und supp b^{(k)} ⊂ [−k/2, k/2] ⊂ [−k + m, k − m] erhalten wir nun für jedes j > k − m, dass

ẑ_{j} = z_{j} = x_{j}^{(k)} − b_{j}^{(k)} = \{ \begin{matrix}0 & j ≠ k \\ x_{k}^{(k)} & j = k. \end{matrix}

gilt. Außerdem ist offenbar ẑ_{j} = 0 für j < k − m, so dass x^{k}ẑ^{−1} ∈ A_{k−m} folgt. Wir erhalten

x^{(m)} = σ^{m−k}(x^{(k)}) ≡ σ^{m−k}(x^{(k)}ẑ^{−1}) ∈ A_{0} (mod K),

so dass x^{(m)}K ∈ Tor(A_{0} + K/K) ist, und Tor(A_{0} + K/K) ist endlich, weil A_{0} endlich erzeugt ist. Also muss die Konjugiertenklasse von xK in G endlich sein.

Lemma 9.14. Seien A_{1}, …, A_{m} ∈ Mat(d, d; K) paarweise kommutierende Matrixen über einem Körper K, deren charakteristische Polynome über K zerfallen. Dann gibt es S ∈ GL(d; K), so dass SA_{i}S^{−1} für jedes i eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis. Wir können offenbar annehmen, dass keines der A_{i} ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Sei λ ∈ K ein Eigenwert von A_{1}. Wegen A_{1}A_{i} = A_{i}A_{1} ist der Eigenraum V = Eig(A_{1}; λ) invariant unter allen A_{i}. Wir schreiben

K^{d} = V ⊕ W

mit irgendeinem zu V komplementären Unterraum W ⊂ K^{d}. Wegen dim V, dim W < d folgt die Behauptung nun mittels Induktion nach der Dimension d.

Für den Beweis unseres nächsten Resultats benötigen wir den Dedekindschen Ein-

heitssatz, den wir in einer relativ schwachen Form formulieren. Die Einheitengruppe

eines algebraischen Zahlkörpers K ist dabei die multiplikative Gruppe der Einheiten

des Rings der ganzen alebraischen Zahlen von K.

Satz 9.15. Sei K ein algebraischer Zahlkörper mit Einheitengruppe 𝔬^{∗}. Für jede Einbettung τ : K ⟶ ℂ sei L_{τ} : 𝔬^{∗} ⟶ ℝ gegeben durch L_{τ}(ε) = ln |τ(ε)| . Für das Produkt

L : 𝔬^{∗} ⟶ ∏_{τ} ℝ

der (endlich vielen) Homomorphismen L_{τ} gilt dann:

(i) ker L = μ(K), die endliche Gruppe der Einheitswurzeln in K.

(ii) im L ist ein Gitter (d.h. eine diskrete Untergruppe) in ∏_{τ} ℝ.

Beweis. Siehe [13, Prop. I.7.1, Thm. I.7.3].

Satz 9.16. Sei G endlich erzeugt und N ◁ G ein Normalteiler, so dass N und G/N endlich erzeugt und abelsch sind. Dann gilt N ∩ PC(G) ≠ {1} .

Beweis. Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass N ≅ ℤ^{d} und G/N ≅ ℤ^{m} freie abelsche Gruppen sind (Propositionen 1.10 und 1.12). Wir wählen einen Isomorphismus φ : N ⟶ ℤ^{d} und setzen \overline{G} = G/N sowie \overline{g} = gN für g ∈ G. Dann erhalten wir eine ganzzahlige Darstellung ρ : \overline{G} ⟶ GL(d, ℤ) durch

ρ(\overline{g})(x) = φ(gφ^{−1}(x)g^{−1})

für alle x ∈ ℤ^{d}, \overline{g} = gN ∈ G/N. Durch Übergang zu einer Untergruppe von endlichem Index können wir annehmen, dass 1 die einzige Einheitswurzel ist, die als Eigenwert eines ρ(\overline{g}) auftritt.

Wir schreiben Eig(\overline{g}, 1) (bzw. Hau(\overline{g}, 1)) für den Eigenraum ker(ρ(\overline{g})−I) (bzw. verallgemeinerten Eigenraum ker(ρ(\overline{g}) − I)^{d}) von ρ(\overline{g}) zum Eigenwert 1, wobei natürlich Eig(\overline{g}, 1) = Hau(\overline{g}, 1) = 0 vorkommen kann.

Wir wählen \overline{H} ≤ \overline{G} maximal, so dass

E = ⋂_{\overline{h}∈\overline{H}} Eig(\overline{h}, 1) ≠ 0

ist. E ist invariant unter ρ(\overline{G}), weil ρ(\overline{G}) abelsch ist. Wir zeigen, dass φ^{−1}(E) ⊂ PC(G) gilt.

Sei \overline{g} ∈ \overline{G} und \overline{g}^{n} ∈ \overline{H} für ein n ≠ 0. Für jeden Eigenwert λ der Einschränkung von \overline{g} auf E gilt dann λ^{n} = 1, so dass nach unserer Annahme λ = 1 und E ∩ Eig(\overline{g}, 1) ≠ 0 gilt. Wegen der Maximalität von \overline{H} folgt daraus \overline{g} ∈ \overline{H}. Also ist \overline{G}/\overline{H} torsionsfrei, so dass wir

\overline{G} = \overline{H} ⊕ \overline{K}

mit einem Komplement \overline{K} ≤ \overline{G} von \overline{H} schreiben können. Wir wählen g_{1}, …, g_{k} ∈ G so dass die \overline{g}_{i} eine Basis von \overline{K} bilden.

Außerdem können wir eine direkte Zerlegung ℤ^{d} = E ⊕ F finden, denn ℤ^{d}/E ist offensichtlich torsionsfrei. Durch einen Wechsel der Basis in ℤ^{d} können wir also annehmen, dass E = ℤ^{d_{1}} × 0 ⊂ ℤ^{d} ist. Dann ist jedes ρ(\overline{g}) eine Blockmatrix der Gestalt

ρ(\overline{g}) = ( \begin{matrix}ρ_{1}(\overline{g}) & ∗ \\ 0 & ρ_{2}(\overline{g}) \end{matrix} ) ,

und es gilt ρ_{1}(\overline{h}) = I für alle \overline{h} ∈ \overline{H}.

Sei K der von den Eigenwerten der Matrizen aus ρ(\overline{G}) erzeugte algebraische Zahlkörper. Dabei beachte man, dass K bereits von den Eigenwerten eines endlichen Erzeugendensystems von ρ(\overline{G}) erzeugt wird, da \overline{G} abelsch ist. Weil die ρ_{1}(\overline{g_{i}}) paarweise kommutieren, gibt es ein S_{1} ∈ GL(d_{1}, K), so dass S_{1}ρ_{1}(\overline{g_{i}})S_{1}^{−1} eine obere

Dreiecksmatrix ist für i = 1, …, k. Mit S = ( \begin{matrix}S_{1} & 0 \\ 0 & I \end{matrix} ) haben wir dann

Sρ(\overline{g}_{i})S^{−1} = ( \begin{matrix}\begin{aligned}λ_{i,1} & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{i,d_{1}} \end{aligned} & ∗ \\ 0 & ρ_{2}(\overline{g}_{i}) \end{matrix} )

für i = 1, …, k.

Jeder Eigenwert eines ρ(\overline{g}), \overline{g} ∈ \overline{G} ist in der Einheitengruppe 𝔬^{∗} von K enthalten, weil das charakteristische Polynom von ρ(\overline{g}) ganzzahlig ist mit Leitkoeffizient 1. Für 1 ≤ j ≤ d_{1} erzeugen λ_{1,j}, …, λ_{k,j} eine freie abelsche Untergruppe von 𝔬^{∗}, denn aus ∏_{i=1}^{k} λ_{i,j}^{n_{i}} = 1 folgt, dass 1 ein Eigenwert der Einschränkung von ∏_{i=1}^{k} ρ(\overline{g}_{i}^{n_{i}}) auf E ist und daraus wegen der Maximalität von \overline{H}, dass ∏_{i=1}^{k} \overline{g}_{i}^{n_{i}} ∈ \overline{H} ∩ \overline{K} = 0 gilt. Das bedeutet nach Satz 9.15, dass der Homomorphismus

ψ : ℤ^{k} ⟶ ∏_{τ} ℝ

mit ψ(n_{1}, …, n_{k}) = L(λ_{1,m}^{n_{1}} … λ_{k,m}^{n_{k}}) injektiv ist und im ψ ein k-dimensionales Gitter in ∏_{τ} ℝ ist. Es gibt also ein Polynom P vom Grad ≤ k, so dass

# {n ∈ ℤ^{k} : ∥ψ(n)∥_{∞} ≤ t} ≤ P (t)  (9.3)

für jedes t ≥ 0 gilt, weil offenbar jedes Gitter in ∏_{τ} ℝ von polynomialem Wachstum ist.

Sei nun x ∈ φ^{−1}(E) \ {1} . Wir setzen x̃ = (x̃_{1}, …, x̃_{d}) = Sφ(x) und

m = max {j : 1 ≤ j ≤ d_{1} : x̃_{j} ≠ 0} .

Sei l eine natürliche Zahl und y ∈ x^{G} mit |y|_{N} ≤ l. Wir können

y = g_{1}^{n_{1}} … g_{k}^{n_{k}}xg_{k}^{−n_{k}} … g_{1}^{−n_{1}}

schreiben mit n_{1}, … n_{k} ∈ ℤ, denn wegen der Invarianz von φ(x) unter ρ(\overline{H}) gilt hxh^{−1} = x für alle h ∈ G mit hN ∈ \overline{H}. Dann haben wir

φ(y) = ρ(\overline{g}_{1}^{n_{1}} … \overline{g}_{k}^{n_{k}})φ(x) = ρ(\overline{g}_{1}^{n_{1}} … \overline{g}_{k}^{n_{k}})S^{−1}x̃,

so dass die m-te Komponente von Sφ(y) gleich λ_{1,m}^{n_{1}} … λ_{k,m}^{n_{k}}x̃_{m} ist. Wir erhalten

|τ(λ_{1,m}^{n_{1}} ⋯ λ_{k,m}^{n_{k}})| ≤ C_{1} ∥τ(Sφ(y))∥_{1} ≤ C_{2} ∥φ(y)∥_{1} ≤ C_{3} |y|_{N}

für jede Einbettung τ : K ⟶ ℂ, wobei die C_{i} positive Konstanten sind, die nicht von y abhängen. Es folgt

∥ψ(n_{1}, …, n_{k})∥_{∞} = max_{τ} ln(|τ(λ_{1,m}^{n_{1}} ⋯ λ_{k,m}^{n_{k}})|) ≤ ln |y|_{N} + ln C_{3}.

Aus (9.3) folgt nun, dass

β_{x^{G}}^{(N)}(l) = # {y ∈ x^{G} : |y|_{N} ≤ l} ≤ P (ln l + ln C_{3}) ≤ C_{4}(ln l + 1)^{k}  (9.4)

für jedes l > 0 gilt. Für ein geeignete B > 1, C > 0 gilt |y|_{N} ≤ b^{|y|^{G}} für alle y ∈ N (Lemma 9.7.) Es folgt

β_{x}^{(G)}(t) ≤ β_{x^{G}}^{(N)}(CB^{t}) ≤ C_{4}(ln C + t ln B + 1)^{k} ≤ C_{5}(t + 1)^{k}

für alle t ≥ 0, womit der Beweis beendet ist.

Polyzyklische Gruppen

Eine auflösbare Gruppe G heisst polyzyklisch, falls jede Untergruppe von G endlich erzeugt ist. Die Klasse der polyzyklischen Gruppen ist abgeschlossen unter der Bildung von Untergruppen, Quotienten und Erweiterungen. Jede endlich erzeugte nilpotente Gruppe ist polyzyklisch und jede polyzyklische Gruppe ist endlich präsentiert (siehe [14, 5.2.17, 2.2.4]). Es gibt eine ganze Reihe von mehr oder weniger tiefliegenden Charakterisierungen polyzyklischer Gruppen. Für uns von Bedeutung ist der folgende Satz von Malcev (für einen Beweis siehe [14], Thm. 15.1.6): Satz 10.1. Eine endlich erzeugte auflösbare Gruppe G ist genau dann polyzyklisch, wenn es eine Untergruppe H ≤ G von endlichem Index gibt, so dass die derivierte Untergruppe H′ = [H, H] von H endlich erzeugt und nilpotent ist. Korollar 10.2. Für jede polyzyklische Gruppe G gilt PS(G) ≠ 1, d.h. es gibt es ein x ∈ G, x ≠ 1, so dass die Konjugiertenklasse von x polynomiales Schreierwachstum besitzt. Beweis. Die Behauptung folgt aus Satz 10.1, Proposition 9.1 und Proposition 1.8, weil das Zentrum einer nilpotenten Gruppe nichttrivial ist.

Die folgende Proposition ist ein offenbar gut bekannt, vgl. z.B. [10, Theorem 107, S. 51]. Es ist allerdings überraschend schwierig, in der Literatur einen Beweis zu finden. Proposition 10.3. Sei G eine endlich erzeugte nilpotente Gruppe. Dann ist jede Untergruppe H ≤ G in G polynomial verzerrt, d.h. es gibt Konstanten C, d > 0, so dass

|y|_{H} ≤ C |y|_{G}^{d}

für alle y ∈ H gilt.

Beweis. Wir verweisen auf [19], wo die Behauptung sogar für den viel allgemeineren Fall bewiesen wird, dass G eine beliebige lokal kompakte Gruppe von polynomialem Wachstum ist.

Satz 10.4. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und N ◁ G ein endlich erzeugter nilpotenter Normalteiler, so dass G/N abelsch ist. Dann gilt

Z(N) ∩ PC(G) ≠ 1.

Beweis. Wir betrachten das semidirekte Produkt

G̃ = Z(N) ⋊ G/N,

wobei die Operation von gN ∈ G/N auf Z(N) durch x ↦ gxg^{−1} gegeben ist. Das ist wohldefiniert, weil Z(N) zentral in N ist, und es gilt x^{G} = xG̃ für jedes x ∈ Z(N), wenn wir Z(N) mit dem Bild der kanonischen Einbettung Z(N) ↪ G̃ identifizieren. Nach 10.3 und 9.7 haben wir Konstanten C_{1}, d > 0, b > 1 so dass

|y|_{Z(N)} ≤ C_{1} |y|_{N}^{d} ≤ C_{1}b^{d|y|_{G}}

für alle y ∈ Z(N) gilt. Nach Satz 9.16, angewandt auf G̃, gibt es ein x ∈ Z(N) \ 1 und Konstanten C_{2}, e > 0, so dass

β_{x^{G}}^{(Z(N))}(l) ≤ C_{2}(ln l)^{e}

für alle l > 0 ist. Es folgt

β_{x}^{(G)}(k) ≤ β_{x^{G}}^{(Z(N))}(C_{1}b^{dk}) ≤ C_{2}(dk ln b + ln C_{1})^{e}

und somit x ∈ PC(G).

Korollar 10.5. Für jede polyzyklische Gruppe G gilt PC(G) ≠ {1} .

Einige Beispiele für exponentiell wachsende Konjugiertenklassen

In diesem Abschnitt bringen wir einige Beispiele für Konjugiertenklassen in auflösbaren Gruppen mit exponentiellem Cayleywachstum. Diese Beispiele zeigen unter anderem, dass das Cayleywachstums einer Konjugiertenklasse im allgemeinen nicht mit dem Schreierwachstum übereinstimmt.

Wir beginnen mit dem vielleicht einfachsten Beispiel einer exponentiell wachsenden Konjugiertenklasse in der Kommutatatorgruppe einer metabelschen Gruppe.

Sei H = ⟨a, b|[a, b] = 1⟩ die freie abelsche Gruppe auf zwei Erzeugern a und b. Die zwei Matrizen

A = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )

und

B = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

aus GL(2, ℚ) kommutieren, so dass wir das semidirekte Produkt

Γ = ℚ^{2} ⋊_{A,B} H

bilden können, indem wir a durch A und b durch B operieren lassen.

11 Einige Beispiele für exponentiell wachsende Konjugiertenklassen 58

Wir betrachten nun die Untergruppe G_{1} von Γ, die von (e_{1}, 1), (e_{2}, 1), (0, a) und (0, b) erzeugt wird, wobei die e_{i} ∈ ℚ^{2} die Standardbasisvektoren sind. Offenbar gilt

G_{1} = ℤ[1/2]^{2} ⋊_{A,B} ℤ^{2},

wobei ℤ[1/2] der von 1/2 erzeugte Unterring von ℚ ist. Für jedes x ∈ ℤ[1/2]^{2} gilt

(0, a)(x, 1)(0, a^{−1})(x, 1)^{−1} = (Ax − x, 1) = (x, 1),

so dass ℤ[1/2]^{2} = G′_{1} ist.

Es ist recht einfach zu sehen, dass G_{1} endlich präsentiert ist. Eine endliche Präsentierung von G_{1} ist zum Beispiel durch

⟨e_{1}, e_{2}, a_{1}, a_{2}|[e_{1}, e_{2}] = [a_{1}, a_{2}] = [e_{1}, a_{2}] = 1, a_{2}e_{2}a_{2}^{−1} = e_{1}e_{2}, a_{1}e_{i}a_{1}^{−1} = e_{1}^{2}, i = 1, 2⟩

gegeben.

Die Elemente (B^{m}e_{2}, 1) = (0, b)^{m}(e_{2}, 1)(0, b)^{−m} für m ∈ ℤ sind in G_{1} konjugiert zu (e_{2}, 1), und für 0 ≤ m < 2^{k} gilt |(B^{m}e_{2}, 1)| ≤ 3k + 1. Um die letzte Behauptung einzusehen, schreiben wir m in der Form m = ∑_{i=0}^{k−1} ε_{i}2^{i} mit ε_{i} ∈ {0, 1} und erhalten

B^{m}e_{2} = ( \begin{matrix}1 & m \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}m \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) + ∑_{i=0}^{k−1} ε_{i}2^{i} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = e_{2} + ∑_{i=0}^{k−1} ε_{i}A^{i}e_{1}.

Es gilt (∑_{i=0}^{k−1} ε_{i}A^{i}e_{1}, a^{k}) = ∏_{i=0}^{k−1}(ε_{i}e_{1}, a). Das ist klar für k = 0, 1 und folgt für k > 1 induktiv aus

∏_{i=0}^{k−1}(ε_{i}e_{1}, a) = (∑_{i=0}^{k−2} ε_{i}A^{i}e_{1}, a^{k−1})(ε_{k−1}e_{1}, a) = (∑_{i=0}^{k−2} ε_{i}A^{i}e_{1} + ε_{k−1}A^{k−1}e_{1}, a^{k}).

Also haben wir

(B^{m}e_{2}, 1) = (e_{2}, 1)(ε_{0}e_{1}, a) … (ε_{k−1}e_{1}, a)(1, a^{−k}),

woraus |(B^{m}e_{2}, 1)| ≤ 1 + 3k folgt. Es gilt also β_{(e_{2},1)}(3k + 1) ≥ 2^{k}, s.d. die Konjugiertenklasse von (e_{2}, 1) in G_{1} exponentielles Cayleywachstum hat.

Wir haben damit gezeigt:

Satz 11.1. Es gibt eine endlich präsentierte metabelsche Gruppe G und ein x ∈ G′, so dass die Konjugiertenklasse von x exponentielles Cayleywachstum besitzt.

Unser nächstes Beispiel zeigt, dass es sogar eine polyzyklische metabelsche Gruppe gibt mit den in 11.1 genannten Eigenschaften gibt. Insbesondere lässt sich die Behauptung von Satz 10.4 nicht zu Z(N) ⊂ PC(G) verbessern. Dazu sei

B = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL(2; ℤ),

so dass die (komplexen) Eigenwerte von B nicht den Betrag 1 haben und (1, 0), (a, c) eine Basis von ℤ^{2} als abelsche Gruppe ist. Beispielsweise kann man B = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) (mit den Eigenwerten \frac{1}{2}(3 ± \sqrt{5}) wählen. Wir betrachten die drei Matrizen

A_{1} = ( \begin{matrix}B & 0 \\ 0 & B \end{matrix} ) , A_{2} = ( \begin{matrix}I & I \\ 0 & I \end{matrix} ) , A_{3} = ( \begin{matrix}I & B \\ 0 & I \end{matrix} )

aus GL(4; ℤ) (wobei I die 2×2-Einheitsmatrix ist) und bilden das semidirekte Produkt

G_{2} = ℤ^{4} ⋊ H

von ℤ^{4} mit der freien abelschen Gruppe H = ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}|[a_{i}, a_{j}] = 1⟩ auf drei Erzeugern a_{1}, a_{2}, a_{3}, wobei wir a_{i} durch A_{i} auf ℤ^{4} operieren lassen. Dabei beachte man, dass die A_{i} paarweise kommutieren.

Sei nun x = e_{3} ∈ ℤ^{4} der dritte Standardbasisvektor. Wir können jedes (p, q) ∈ ℤ^{2} als Linearkombination

(p, q) = m(1, 0) + n(a, c)

mit m, n ∈ ℤ schreiben und erhalten

A_{2}^{m}A_{3}^{n}x = ( \begin{matrix}I & mI \\ 0 & I \end{matrix} ) ( \begin{matrix}I & nB \\ 0 & I \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p \\ q \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) .

Also gilt (ℤ^{2} + x, 1) ⊂ x^{G_{2}}, wobei wir ℤ^{2} mit ℤ^{2} × 0 ⊂ ℤ_{4} identifizieren. G_{2} enthält die Untergruppe

ℤ^{2} ⋊ ⟨a_{1}⟩ ≅ ℤ^{2} ⋊_{B} ℤ,

und wegen der Voraussetzung über die Eigenwerte von B ist nach Proposition 9.6 das relative Wachstum von ℤ^{2} in ℤ^{2} ⋊ ⟨a_{1}⟩ exponentiell. Dann ist ℤ^{2} erst recht von exponentiellem Wachstum in G, so dass auch x^{G} exponentiell wächst.

Falls es zusätzlich zu den bisherigen Voraussetzungen über B ein y ∈ ℤ^{4} gibt mit A_{1}y − y = x, so gilt

(1, a_{1})(y, 1)(1, a_{1})^{−1}(y, 1)^{−1} = (x, 1) ∈ G′.

Das ist für B = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) der Fall, weil dann B − I ∈ GL(2; ℤ) gilt. Damit haben wir die folgende verbesserte Version von Satz 11.1 gezeigt: Satz 11.2. Es gibt eine polyzyklische metabelsche Gruppe G und ein x ∈ G′, so dass die Konjugiertenklasse von x exponentielles Cayleywachstum besitzt.

Unser letztes Beispiel zeigt, dass sich die Behauptung von Satz 10.4 auch dann nicht zu Z(N) ⊂ PC(G) verbessern lässt, wenn man G/N als zyklisch voraussetzt. Dazu sei N die freie nilpotente Gruppe der Nilpotenzklasse 2 auf den vier Erzeugern x_{1}, …, x_{4}, d.h. N = F/[F, [F, F]] mit der freien Gruppe F vom Rang 4. Wir verwenden die folgenden Rechenregeln für Elemente x, y, z von N.

(i) [x, yz] = [x, zy] = [x, y][x, z].

(ii) [xy, z] = [yx, z] = [x, z][y, z].

(iii) [x, y]^{n} = [x^{n}, y] = [x, y^{n}] für alle n ∈ ℤ.

(iv) [x, x^{n}y] = [x, y] für alle n ∈ ℤ.

(i) folgt aus der Tatsache, dass N′ zentral in N ist, weil in jeder Gruppe die Identität [x, y]y[x, z]y^{−1} = xyx^{−1}y^{−1}yxzx^{−1}z^{−1}y^{−1} = xyzx^{−1}z^{−1}y^{−1} = [x, yz] gilt. (ii) folgt durch Übergang zu den Inversen, (iii) und (iv) sind Spezialfälle der ersten beiden Regeln.

Wir definieren nun mit Hilfe der universellen Eigenschaft der freien nilpotenten Gruppe N einen Homomorphismus φ : N ⟶ N durch die Festsetzungen

φ(x_{1}) = x_{1}^{3}x_{2}^{−1},  φ(x_{2}) = x_{1},
φ(x_{3}) = x_{3}^{3}x_{4}^{−1},  φ(x_{4}) = x_{1}x_{3}.

Tatsächlich ist φ sogar ein Automorphismus, dessen Inverses gegeben ist durch x_{1} ↦ x_{2}, x_{2} ↦ x_{1}^{−1}x_{2}^{3}, x_{3} ↦ x_{2}^{−1}x_{4}, x_{4} ↦ x_{3}^{−1}(x_{2}^{−1}x_{4})^{3}. Wir können also das semidirekte Produkt

G_{3} = N ⋊_{φ} ℤ

bilden, in dem die Multiplikation durch

(x, m)(y, n) = (xφ^{m}(y), m + n)

gegeben ist für x, y ∈ N, m, n ∈ ℤ. Als Erzeugendensystem von G_{3} verwenden wir {(x_{1}, 0), …, (x_{4}, 0), (0, 1)} .

Mit Hilfe der obigen Rechenregeln berechnen wir, dass

φ([x_{1}, x_{2}]) = [x_{1}, x_{2}],
φ([x_{1}, x_{4}]) = [x_{1}, x_{3}]^{3}[x_{1}, x_{2}][x_{2}, x_{3}]^{−1} und
φ([x_{2}, x_{3}]) = [x_{1}, x_{3}]^{3}[x_{1}, x_{4}]^{−1}

gilt. Für y = [x_{1}, x_{4}][x_{2}, x_{3}]^{−1} ∈ Z(N) erhalten wir also

φ(y) = [x_{1}, x_{3}]^{3}[x_{1}, x_{2}][x_{2}, x_{3}]^{−1}[x_{1}, x_{4}][x_{1}, x_{3}]^{−3} = [x_{1}, x_{2}]y

und daraus per Induktion

φ^{n}(y) = [x_{1}, x_{2}]^{n}y

für alle n ∈ ℤ.

Wir betrachten den Homomorphismus ρ : N ⟶ H_{3} in die Heisenberggruppe

H_{3} = \{( \begin{matrix}1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) : a, b, c ∈ ℤ\}

der Nilpotenzklasse 2 mit ρ(x_{1}) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ρ(x_{2}) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ρ(x_{3}) = ρ(x_{4}) = 1. Für jedes m ∈ ℤ haben wir dann

ρ([x_{1}, x_{2}]^{m}) = ρ([x_{1}^{m}, x_{2}]) = [( \begin{matrix}1 & m & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )] = ( \begin{matrix}1 & 0 & m \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ,

so dass [x_{1}, x_{2}] unendliche Ordnung hat. (Tatsächlich gilt sogar, dass N′ = Z(N) frei abelsch auf den Kommutatoren [x_{i}, x_{j}], 1 ≤ i < j ≤ 4 ist (??). Dieser Fakt wird von uns aber hier nicht benötigt.)

N/N′ ≅ F/F′ ist eine freie abelsche Gruppe auf den \overline{x}_{i} = x_{i}N′, i = 1, … 4, und φ induziert einen Automorphismus \overline{φ} von N/N′, der bezüglich dieser Basis durch die Matrix

( \begin{matrix}3 & 1 & 0 & 1 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix} )

dargestellt wird. \overline{φ} bildet \overline{H} = ⟨\overline{x}_{1}, \overline{x}_{2}⟩ in sich selbst ab und hat auf \overline{H} die Eigenwerte \frac{1}{2}(3 ± \sqrt{5}) vom Betrag ≠ 1. Das bedeutet nach Proposition 9.6, dass \overline{H} in N/N′ ⋊ ℤ exponentiell wächst, d.h. es gibt Konstanten C > 0, b > 1, so dass #\overline{B}_{n} ≥ Cb^{n} für jede der Mengen

\overline{B}_{n} = \{\overline{x} ∈ \overline{H} : |\overline{x}|_{N/N′⋊ℤ} ≤ n\} , n ∈ ℕ

gilt. Für ein beliebiges n ∈ ℕ betrachten wir nun die Mengen

P_{1,n} = {k_{1} ∈ ℤ : Es gibt k_{2} ∈ ℤ, x′ ∈ N′ mit |x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x′|_{G_{3}} ≤ n}

und

P_{2,n} = {k_{2} ∈ ℤ : Es gibt k_{1} ∈ ℤ, x′ ∈ N′ mit |x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x′|_{G_{3}} ≤ n} .

Jedes \overline{x} ∈ \overline{H} hat einen Repräsentanten x ∈ H = ⟨x_{1}, x_{2}, N′⟩ mit |x|_{G_{3}} = |\overline{x}| , und wir können jedes x ∈ H in der Form x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x′ mit k_{1}, k_{2} ∈ ℤ, x′ ∈ N′ schreiben. Es gilt also

#(P_{i,n}) ≥ \sqrt{C}\sqrt{b}^{n}.  (11.1)

für i = 1 oder i = 2. Falls dies für i = 1 gilt, so folgt für jedes k_{1} ∈ P_{1,n}, dass

|([x_{1}, x_{2}]^{k_{1}}, 0)|_{G_{3}} = |([x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x′, x_{2}], 0)|_{G_{3}} ≤ 2(n + 1)

gilt. Es folgt

|(φ^{k_{1}}(y), 0)|_{G_{3}} = |([x_{1}, x_{2}]^{k_{1}}y, 0)|_{G_{3}} ≤ 2(n + 1) + |y|_{G_{3}} ≤ 2n + 10,

so dass

β_{y}(2n + 10) ≥ \sqrt{C}\sqrt{b}^{n}

folgt. Falls (11.1) für i = 2 gilt, erhalten wir in analoger Art und Weise dieselbe Abschätzung, wobei wir diesmal

[x_{1}, x_{2}]^{k_{2}} = [x_{1}, x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x′]

verwenden.

Wir haben also gezeigt: Satz 11.3. Sei N die freie nilpotente Gruppe der Nilpotenzklasse 2 auf vier Erzeugern. Dann gibt es es eine Erweiterung G von N mit zyklischem Quotienten G/N und ein y ∈ Z(N), so dass β_{y}^{(G)} exponentiell wächst.

Ausblick

Wir geben ein Beispiel dafür, wozu (im Cayleysinne) polynomial wachsende Konjugiertenklassen verwendet werden können. Dieses Kapitel dient in erster Linie der Motivation unserer Problemstellung, so dass wir es uns erlauben, auf Beweise zu verzichten. Für Hintergrundinformationen über die (toplogische) K-Theorie von C^{∗}- und sonstigen Algebren verweisen wir auf [2] und [20], für Eigenschaft (RD) auf die grundlegende Arbeit [9], und für den gesamten Abschnitt auf Kapitel 8 in [18], aus dem sich mit ein wenig Aufmerksamkeit Beweise für fast alle unserer Behauptungen extrahieren lassen.

Sei G eine (endlich erzeugte) Gruppe und l^{2}G der (komplexe) Hilbertraum mit Orthonormalbasis (e_{h})_{h∈G}. Die (links-) reguläre Darstellung λ von G auf l^{2}G ist gegeben durch λ(g)e_{h} = e_{gh}. Die von λ(G) erzeugte C^{∗}-Algebra C_{r}^{∗}(G) ⊂ B(l^{2}G) heisst (reduzierte) C^{∗}-Algebra von G. Die Abbildung C_{r}^{∗}(G) ⟶ l^{2}G, φ ↦ φ(e_{1}) ist injektiv, so dass man C^{∗}(G) auch als eine ∗-Algebra von Funktionen auf G (mit der Faltung als Multiplikation) auffassen kann.

Die reduzierte C^{∗}-Algebra einer Gruppe ist ebenso wichtig wie schwer zugänglich. So sind z.B. die K-Theoriegruppen K_{i}(C_{r}^{∗}(G)), i = 0, 1, die natürliche Heimat für die diversen Indizes der höheren Indextheorie, aber im allgemeinen sehr schwierig zu verstehen oder gar zu berechnen.

Eine Möglichkeit, Informationen über die K-Theorie einer komplexen Algebra A zu gewinnen, liegt in der Verwendung von Spuren. Eine Spur auf A ist dabei eine Linearform τ : A ⟶ ℂ mit τ(ab) = τ(ba) für alle a, b ∈ A. Jede Spur auf A induziert Spuren auf den Matrixalgebren über A und definiert auf diese Weise einen wohldefinierten Homomophismus

τ_{∗} : K_{0}(A) ⟶ ℂ.

Jede Konjugiertenklasse x^{G} ⊂ G definiert eine Spur τ_{x^{G}} : ℂG ⟶ ℂ durch

τ_{x^{G}}(∑_{g∈G} z_{g}e_{g}) = ∑_{y∈x^{G}} z_{y}.

Für x ≠ 1 lässt sich diese Spur aber im allgemeinen nicht auf die C^{∗}-Algebra von G fortsetzen.

Deshalb ist es oft nützlich, C_{r}^{∗}(G) durch eine geeignete Unteralgebra zu ersetzen, die genügend viele Spuren besitzt, aber dennoch ”dicht genugïn C_{r}^{∗}(G) liegt, um die Struktur von C_{r}^{∗}(G) widerspiegeln zu können. Vom Standpunkt der nichtkommutativen Geometrie spielt C_{r}^{∗}(G) die Rolle des Raums der stetigen Funktionen auf dem Dualraum Ĝ von G, der im allgemeinen sehr schlechte topologische Eigenschaften besitzt. Die Idee ist nun, anstelle von C_{r}^{∗}(G) einen Raum von ”glatten Funktionenäuf Ĝ zu betrachten.

Falls G die sogenannte Eigenschaft (RD) (rapid decay”) besitzt, kann man die Algebra H^{∞}(G) = ⋂_{s≥0} H^{s}(G) der schnell fallenden Funktionen auf G nehmen, wobei

H^{s}(G) = {f : G ⟶ ℂ : ∑_{g∈G} |f(g)|^{2} (1 + |g|)^{2s} < ∞}

ein Analogon eines Sobolevraums auf Ĝ ist. H^{∞}(G) enthält die Gruppenalgebra ℂG (und liegt also dicht in C_{r}^{∗}(G)) und ist holomorph abgeschlossen (d.h. abgeschlossen unter dem holomorphen Funktionenkalkül von C_{r}^{∗}(G)). Daraus folgt, dass die Inklusion Isomorphismen

K_{i}(H^{∞}(G)) ≅ K_{i}(C_{r}^{∗}(G)), i = 0, 1

in der K-Theorie induziert.

Für eine beliebige Gruppe G ist H^{∞}(G) jedoch im allgemeinen keine Algebra. Es ist aber auch hier möglich, eine geeignete Algebra von ”glatten Funktionenßu finden. Dazu sei G eine endlich erzeugte Gruppe mit Wortlänge |·| . Wir definieren wir unbeschränkten Operator D auf l^{2}(G) durch punktweise Multiplikation mit der Wortlänge, d.h. De_{g} = |g| e_{g} für alle g ∈ G, und eine unbeschränkte Derivation δ auf C_{r}^{∗}(G) mit Werten in B(l^{2}(G)) durch δ(a) = Da − aD und setzen

B^{∞}(G) = ⋂_{k≥0} Dom(δ^{k}).

B^{∞}(G) ist eine ℂG umfasende ∗-Unteralgebra von ℂ_{r}^{∗}(G) und ist holomorph abgeschlossen, so dass wir auch hier Isomorphismen in der K-Theorie erhalten. Es ist

B^{∞}(G) ⊂ H^{∞}(G),

wobei sogar Gleichheit gilt, falls G Eigenschaft (RD) besitzt. Weil B^{∞}(G) also aus schnell fallenden Funktionen besteht, ist es nicht schwer zu zeigen, dass sich die Spur τ_{x^{G}} auf B^{∞}(G) fortsetzen lässt, falls x^{G} ⊂ G von polynomialem Cayleywachstum ist.

Als ein Anwendungsbeispiel solcher Spuren auf B^{∞}(G) erwähnen wir die ”delokalisierten L^{2}-Invarianten”von Lott, die das Verhalten der Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit in nichttrivialen Konjugiertenklassen berücksichtigen. Lott zeigt in [11], dass die delokalisierten L^{2}-Invarianten einer kompakten Mannigfaltigkeit M wohldefiniert sind, falls π_{1}(M) polynomiales Wachstum besitzt, mit einem Beweis, der sich für eine beliebige Fundamentalgruppe mit den oben skizzierten Methoden auf alle Konjugiertenklassen aus PC(G)(π_{1}(M)) übertragen lässt.

[10]

Literaturverzeichnis

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[18] Alain Valette. Introduction to the Baum-Connes conjecture. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002.

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[20] N. E. Wegge-Olsen. K-theory and C^{∗}-algebras. Oxford Science Publications. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1993.

Danksagung

Mein Dank gilt Herrn Prof. Thomas Schick für das überaus interessante Thema und die durchweg sehr gute und freundliche Betreuung, Stephan Elsenhans und Elias Kappos für anregende und hilfreiche Diskussionen, Elias Kappos für die Hilfe beim Korrekturlesen, Jörg Jahnel für die Wegweiser im Reich der algebraischen Zahlentheorie, meinen Eltern für all ihre Unterstützung vor und während meines Studiums, und nicht zuletzt Insa (für den ganzen Rest).